בגרות – קליפה כדורית טעונה

קליפה כדורית מוליכה שרדיוסה \( R=8\ \mathrm{cm}=0.08\ \mathrm{m} \), טעונה במטען חשמלי חיובי \( Q=2\times10^{-6}\ \mathrm{C} \). נקודה A נמצאת במרחק \( r_A=6\ \mathrm{cm}=0.06\ \mathrm{m} \) ממרכז הקליפה (בתוכה), ונקודה B נמצאת במרחק \( r_B=12\ \mathrm{cm}=0.12\ \mathrm{m} \) ממרכז הקליפה (מחוצה לה). רמת האפס של הפוטנציאל נבחרה באין-סוף.

א. השדה החשמלי בנקודה A

נקודה A נמצאת בתוך קליפה מוליכה. בכל מוליך במצב אלקטרוסטטי השדה החשמלי בפנים הוא אפס - אין מטען כלוא במעטפת גאוס כדורית ברדיוס \( r_A \):

$$ E_A = 0\ \mathrm{N/C} $$

ב. הפוטנציאל החשמלי בנקודה A

מכיוון שאין שדה בתוך הקליפה, הפוטנציאל בתוכה קבוע ושווה לפוטנציאל על פני הקליפה עצמה:

$$ V_A = k\frac{Q}{R} = \frac{9\times10^9\times2\times10^{-6}}{0.08} = 2.25\times10^5\ \mathrm{V} $$

ג. השדה החשמלי בנקודה B

מחוץ לקליפה טעונה, היא מתנהגת בדיוק כמו מטען נקודתי המרוכז במרכזה:

$$ E_B = k\frac{Q}{r_B^2} = \frac{9\times10^9\times2\times10^{-6}}{0.12^2} = 1.25\times10^6\ \mathrm{N/C} $$

ד. הפוטנציאל החשמלי בנקודה B

$$ V_B = k\frac{Q}{r_B} = \frac{9\times10^9\times2\times10^{-6}}{0.12} = 1.5\times10^5\ \mathrm{V} $$

ה-ו. חיבור הקליפה לקליפה אחרת במרחק אין-סופי, באמצעות תיל מוליך דק וארוך

כאשר מחברים שני מוליכים בתיל, מטענים זורמים ביניהם עד שהפוטנציאל שלהם משתווה. מכיוון שהקליפה השנייה נמצאת במרחק "אין-סופי" מהקליפה הנתונה, השדה בנקודה B (שנמצאת קרוב לקליפה הנתונה) נקבע כעד ורק לפי המטען שנשאר על הקליפה הנתונה עצמה, ללא כל תרומה מהקליפה השנייה המרוחקת.

ה. הקליפה האחרת אינה טעונה, ורדיוסה שווה לרדיוס הקליפה הנתונה

שתי הקליפות זהות בגודלן (ולכן בקיבולן). כאשר הן מחוברות ומגיעות לפוטנציאל משותף, המטען הכולל \( Q \) מתחלק ביניהן בשווה (קיבולים שווים ⟸ מטענים שווים בפוטנציאל שווה):

$$ Q_{new} = \frac{Q}{2} $$

מכיוון שהמטען שנשאר על הקליפה הנתונה קטן מהמטען המקורי, השדה בנקודה B יהיה קטן יותר מזה שנמצא בסעיף ג.

ו. הקליפה האחרת טעונה באותו מטען Q, אך רדיוסה כפול (16 cm)

לפני החיבור, לשתי הקליפות אותו מטען \( Q \) אך רדיוסים שונים - ולכן פוטנציאלים שונים (\( V=kQ/R \), הפוך למרחק). לקליפה הקטנה (הנתונה, \( R \)) פוטנציאל גבוה יותר מלקליפה הגדולה (\( 2R \)), ולכן בעת החיבור מטען זורם מהקליפה הנתונה (הקטנה) לקליפה השנייה (הגדולה), עד שהפוטנציאלים משתווים.

מכיוון שהקיבול פרופורציוני לרדיוס, וברגע השוויון המטען מתחלק ביחס הקיבולים:

$$ Q_{new,small} = \frac{R}{R+2R}\times(2Q) = \frac{2Q}{3} $$

המטען שנשאר על הקליפה הנתונה (\( 2Q/3 \)) קטן מהמטען המקורי \( Q \) - ולכן גם כאן השדה בנקודה B יהיה קטן יותר מזה שנמצא בסעיף ג.