בגרות – שני כדורים בשדה

מורה תלה כדור פלסטיק שמסתו \( m \), טעון במטען \( q_1 \), בחוט מחובר לתקרה. בנוכחות שדה חשמלי אחיד \( E \) המכוון ימינה, הכדור סטה מהאנך בזווית \( a \) לכיוון ימין.

א. סימן וגודל המטען q₁

כמו קודם, שיווי משקל נותן \( \tan a = \dfrac{q_1 E}{mg} \). הכדור סטה באותו כיוון כמו השדה \( E \) - כלומר הכוח עליו מקביל לשדה, ולכן \( q_1 \) חיובי.

הצבת \( m=0.2\ gr = 2\times10^{-4}\ kg,\ a=14^\circ,\ E=5700\ N/C \):

$$ q_1 = \frac{mg\tan a}{E} = \frac{2\times10^{-4}\times9.8\times\tan14^\circ}{5700} \approx 8.6\times10^{-8}\ C $$

ב. ניסוי שני — כדור נוסף q₂ במרחק r

מוסיפים כדור פלסטיק שני, טעון במטען חיובי \( q_2 \), באותה מסה \( m \), במרחק \( r \) מהכדור הראשון. הכוחות על הכדור הראשון (\( q_1 \)) הם: מתיחות \( T \), משקל \( mg \), הכוח מהשדה החיצוני \( q_1E \), וכוח קולון \( F_{12}=k\dfrac{q_1q_2}{r^2} \) מהכדור השני (דחייה, כי שני המטענים חיוביים).

שיווי משקל אנכי: \( T\cos\beta = mg \). שיווי משקל אופקי: מכיוון שהדחייה מ-\( q_2 \) פועלת נגד כיוון השדה החיצוני:

$$ T\sin\beta = q_1E - k\frac{q_1q_2}{r^2} $$

מחלקים בין שתי המשוואות ומבודדים את \( E \):

$$ \tan\beta = \frac{q_1E - k\frac{q_1q_2}{r^2}}{mg} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{mg\tan\beta}{q_1} + k\frac{q_2}{r^2} $$

ג-ד. שימוש בגרף

המורה שינה את \( r \) מספר פעמים, ובכל פעם כיוון מחדש את \( E \) כך שזווית הסטייה \( \beta \) של הכדור הראשון נשארה קבועה. לפי הביטוי שפותח, \( E \) הוא קו ישר כתלות ב-\( 1/r^2 \):

$$ E = k q_2\cdot\frac{1}{r^2} + \frac{mg\tan\beta}{q_1} $$

קוראים מהגרף (תרשים 3) שתי נקודות על הקו, למשל \( \left(\dfrac{1}{r^2}=20,\ E=3000\right) \) ו-\( \left(\dfrac{1}{r^2}=80,\ E=6000\right) \). השיפוע וחיתוך ציר ה-y היוצאים מכך:

$$ kq_2 = \frac{6000-3000}{80-20} = 50 \quad\Rightarrow\quad q_2 = \frac{50}{8.99\times10^{9}} \approx 5.6\times10^{-9}\ C $$

$$ \frac{mg\tan\beta}{q_1} = 2000 \quad\Rightarrow\quad \tan\beta = \frac{2000\times q_1}{mg} = \frac{2000\times8.6\times10^{-8}}{2\times10^{-4}\times9.8} \approx 0.088 \quad\Rightarrow\quad \beta \approx 5.0^\circ $$

ה. האם אפשר לגרום לשני הכדורים לסטות באותה זווית?

תלמידה הציעה לטעון את הכדור השני במטען \( q_2 \) כלשהו כך ששני הכדורים יסטו ימינה באותה זווית \( \beta \) (אותה מסה לשניהם). זה כן אפשרי - אבל רק תחת יחס מסוים בין המטענים.

כותבים שיווי משקל אופקי לכל כדור בנפרד (T זהה לשניהם, כי מסה וזווית זהות):

כדור 1 - השדה דוחף ימינה, הדחייה מכדור 2 דוחפת שמאלה: $$ T\sin\beta = q_1E - k\frac{q_1q_2}{r^2} $$

כדור 2 - השדה והדחייה ההדדית (חוק שלישי של ניוטון) שתיהן דוחפות ימינה, כי כדור 2 נדחק הרחק מכדור 1: $$ T\sin\beta = q_2E + k\frac{q_1q_2}{r^2} $$

משווים בין שתי המשוואות (שתיהן שוות ל-\( T\sin\beta \)):

$$ q_1E - k\frac{q_1q_2}{r^2} = q_2E + k\frac{q_1q_2}{r^2} \quad\Rightarrow\quad E(q_1-q_2) = 2k\frac{q_1q_2}{r^2} $$

אגף ימין תמיד חיובי, ולכן חייב להתקיים \( q_1 > q_2 \). בהינתן \( q_1,E,r \) (הידועים מהסעיפים הקודמים), המשוואה פותרת ביחידות עבור \( q_2 \) - כלומר קיים ערך מתאים, וזה אכן אפשרי, ובכל מקרה כזה יתקיים \( q_2 < q_1 \).