בגרות – כוח על מוט מוליך בשדה מגנטי (מד כוח)

פתרון: בגרות קיץ תשפ"ד 2024, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 6

מוט מוליך (מסה \( m \), אורך \( L=10\ \mathrm{cm}=0.10\ \mathrm{m} \)) תלוי על שני חוטים ומונח בתוך שדה מגנטי אחיד \( B \) שיוצר מגנט פרסה (בין הקטבים P ו-Q). המוט מחובר למעגל חשמלי שבו זורם זרם \( i \) הניתן לשינוי, ואחד משני החוטים מחובר לחייש כוח שמודד את המתיחות \( T \) בו. יש להתעלם מהשפעת שדה המגנטי של כדור הארץ.

נתוני הניסוי:

א. כיוון השדה המגנטי במגנט הפרסה

מהטבלה עולה שהמתיחות בחוט קטנה ככל שהזרם \( i \) גדל. פירוש הדבר שהכוח המגנטי \( \vec{F}=I\vec{L}\times\vec{B} \) הפועל על המוט מכוון כלפי מעלה (מסייע לחוטים לתמוך במשקל המוט, ומקטין את המתיחות הנדרשת בהם).

לקביעת הכיוון (P אל Q, או Q אל P): יש להשתמש בכלל יד ימין (F=IL×B) - כיוון הזרם בתיל נתון בתרשים 1, וכיוון הכוח הנדרש הוא כלפי מעלה (כפי שנמצא לעיל); משני אלה נגזר כיוון B. קביעת האות המדויקת (P→Q או Q→P) תלויה בכיוון הזרם המצויר בפועל בתרשים - מומלץ לאמת זאת ישירות מול השאלון המקורי באמצעות כלל יד ימין על הכיוון המצויר בו.

ב. ביטוי למתיחות בחוט כתלות בזרם

על המוט פועלים שלושה כוחות: המשקל \( mg \) (כלפי מטה), הכוח המגנטי \( BIL \) (כלפי מעלה, לפי סעיף א), והמתיחות השקולה של שני החוטים \( T \) (כלפי מעלה - כאשר \( T \) הנמדד הוא בחוט שמחזיק על כוח שווה בשני החוטים גם יחד, לפי סימטריית הבעיה). משוואת שיווי המשקל (המוט נייח):

$$ T = mg - BIL $$

כלומר \( T \) הוא פונקציה ליניארית יורדת של \( i \): שיפוע \( -BL \) וחותך \( mg \) עם ציר ה-\( T \).

ג. תרשים כוחות וקו מגמה

(1) יש לשרטט על המוט שלושה וקטורי כוח: \( m\vec{g} \) כלפי מטה, \( B I \vec{L} \) כלפי מעלה, ו-\( \vec{T} \) (השקול של שני החוטים) כלפי מעלה.

(2) יש לשרטט על גבי הנקודות בטבלה קו מגמה ישר (רגרסיה לינארית) - הנקודות מתפזרות סביב קו ישר יורד, כמצופה מהמשוואה בסעיף ב'.

ד. חישוב המסה \( m \) והשדה המגנטי \( B \)

קו המגמה הטוב ביותר (רגרסיה לינארית על חמש נקודות הטבלה) הוא:

$$ T = -0.01\,i + 0.101\quad(\mathrm{N}) $$

השיפוע שווה ל-\( -BL \), והחותך עם ציר ה-\( T \) שווה ל-\( mg \). לכן:

$$ BL = 0.01\ \mathrm{N/A} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{0.01}{L} = \frac{0.01}{0.10} = 0.1\ \mathrm{T} $$

$$ mg = 0.101\ \mathrm{N} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{0.101}{g} = \frac{0.101}{10} \approx 0.0101\ \mathrm{kg} = 10.1\ \mathrm{g} $$

ה. חלק שני - הזרם עובר עכשיו בסולנואיד

בהמשך השאלה, מחליפים את מגנט הפרסה בסולנואיד שדרכו עובר זרם, כך שהשדה המגנטי בתוכו נוצר על ידי אותו זרם \( i \) שעובר גם במוט. גם כאן השדה המגנטי בתוך סולנואיד ארוך הוא ביחס ישר לזרם שיוצר אותו (\( B=\mu_0 n i \), \( n \) = כריכות ליחידת אורך) - כך שהכוח על המוט הופך לפרופורציוני ל-\( i^2 \) (ולא ל-\( i \) בלבד כמו קודם, כי גם \( B \) וגם הכוח על המוט תלויים ב-\( i \)). לכן צורת גרף הוראת חייש הכוח כתלות ב-\( i \) במקרה הזה אינה ליניארית כמו בסעיף הקודם, אלא פרבולית (יורדת בקצב מהיר יותר ככל ש-\( i \) גדל).

קביעת האיור המדויק מבין ארבעת הגרפים (1-4) בשאלון תלויה בצורה המדויקת המצוירת בכל אחד מהם - מומלץ לבדוק מול השאלון המקורי ולזהות את הגרף שמראה ירידה פרבולית (לא ליניארית) בהוראת חייש הכוח.