בגרות – גלוונומטר טנגנטי (מצפן ושתי מערכות כריכות)

פתרון: בגרות קיץ תשפ"ה 2025, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 4

מצפן מונח במרכז לוח אופקי. שתי מערכות כריכות מעגליות, שהמצפן במרכזן המשותף, מאונכות ללוח (עומדות אנכית) והן מקבילות זו לזו - מישוריהן מכילים את קו צפון-דרום, כך שהשדה המגנטי שכל אחת מהן יוצרת במרכז מכוון מזרח-מערב (מאונך לכיוון צפון).

מערכת כריכות 1: רדיוס \( R_1=0.15\ \mathrm{m} \), \( N_1=10 \) כריכות, זרם \( i_1 \) ניתן לשינוי בגודלו ובכיוונו.

מערכת כריכות 2: רדיוס \( R_2=0.10\ \mathrm{m} \), \( N_2=10 \) כריכות, זרם \( i_2 \) קבוע בגודלו ובכיוונו.

שדה מרכז כריכה: \( B=\dfrac{\mu_0 N i}{2R} \). מכיוון ששתי המערכות מקבילות (שתיהן יוצרות שדה מזרח-מערב), השדה הכולל המאונך לצפון הוא \( B_1+B_2 \) (עם סימנים לפי כיוון הזרמים), וזווית הסטייה של המצפן מצפון מקיימת:

$$ \tan\theta = \frac{B_1+B_2}{B_{E\parallel}} = \frac{\mu_0 N_1}{2R_1 B_{E\parallel}}\,i_1 \;+\; \frac{B_2}{B_{E\parallel}} $$

כלומר גרף \( \tan\theta \) כתלות ב-\( i_1 \) הוא קו ישר שהשיפוע שלו תלוי ב-\( B_{E\parallel} \) (המרכיב האופקי של שדה כדור הארץ, המכוון צפונה), וחותך את ציר ה-\( \tan\theta \) בנקודה שאינה אפס בזכות התרומה הקבועה של \( B_2 \) - בדיוק כמו שמתואר בגרף בתרשים 3.

א. כיוון סטיית המצפן (סעיפים (1) ו-(2))

שני סעיפי המשנה כאן דורשים לזהות, מתוך כיוון הזרם המצויר בתרשים 2 (וכיוון \( i_1=-i_2 \) בסעיף (2)), את כיוון השדה המגנטי שנוצר במרכז הכריכה (לפי כלל יד ימין/כלל הבורג על כיוון הזרם המצויר), ולפי זה את כיוון סטיית המצפן (לכיוון השדה השקול, המורכב מהרכיב הצפוני של כדור הארץ ומהרכיב המזרח-מערבי מהכריכות). קביעת האיור המדויק (a/b, ו-c/d/e) תלויה בכיוון המדויק שמצויר בחץ i2 בתרשים המקורי - מומלץ לבדוק ישירות מול האיור המקורי בשאלון ולהחיל את כלל יד ימין על הכיוון המצויר בו, כפי שתואר כאן.

ב. נקודת החיתוך עם הציר - חישוב i2

בנקודה שבה \( \tan\theta=0 \) (חיתוך הקו עם הציר האופקי בתרשים 3), השדה הכולל מתאפס: \( B_1=-B_2 \). מכיוון ש-\( N_1=N_2 \), מתקבל:

$$ \frac{i_1}{R_1}=-\frac{i_2}{R_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{|i_1|}{i_2}=\frac{R_1}{R_2} $$

מהגרף, נקודת החיתוך היא ב-\( i_1=-0.75\ \mathrm{A} \). לכן:

$$ i_2 = |i_1|\cdot\frac{R_2}{R_1} = 0.75\times\frac{0.10}{0.15} = 0.5\ \mathrm{A} $$

ג. חישוב \( B_{E\parallel} \) (המרכיב האופקי של שדה כדור הארץ) מתוך שיפוע הגרף

השיפוע של הקו בתרשים 3 (מבין שתי הנקודות \( (-0.75,0) \) ו-\( (0.25,1.4) \)):

$$ \text{שיפוע} = \frac{1.4-0}{0.25-(-0.75)} = \frac{1.4}{1.0} = 1.4\ \mathrm{A^{-1}} $$

לפי הנוסחה, השיפוע שווה ל-\( \dfrac{\mu_0 N_1}{2R_1 B_{E\parallel}} \), ומכאן:

$$ B_{E\parallel} = \frac{\mu_0 N_1}{2R_1\cdot(\text{שיפוע})} = \frac{4\pi\times10^{-7}\times 10}{2\times0.15\times1.4} \approx 3.0\times10^{-5}\ \mathrm{T} $$

(ערך זה סביר פיזיקלית - עוצמת המרכיב האופקי של השדה המגנטי של כדור הארץ היא בדרך כלל בטווח של כמה עשרות מיקרוטסלה.)

ד. מערכת 2 מסובבת ב-90° - השדות המופעלים על המצפן

לאחר סיבוב מערכת כריכות 2 ב-90°, השדה שהיא יוצרת (\( B_2 \)) מכוון עצמו כעת צפונה (באותו כיוון כמו \( B_{E\parallel} \)) - ולכן שתי המערכות (1 ו-2) מאונכות זו לזו: מערכת 1 עדיין יוצרת שדה מזרח-מערב (\( B_1 \)), ומערכת 2 יוצרת שדה צפון-דרום (\( B_2 \)).

בתרשים יש לסמן שלושה וקטורים במרכז: \( \vec{B}_{E\parallel} \) - חץ לכיוון צפון; \( \vec{B}_2 \) - חץ לכיוון צפון (מקביל ובאותו כיוון), שאת שניהם אפשר לצייר כווקטור אחד מאוחד \( \vec{B}_{E\parallel}+\vec{B}_2 \) שמכוון צפונה; ו-\( \vec{B}_1 \) - חץ מאונך לצפון (מזרח או מערב, לפי כיוון \( i_1 \)). זווית הסטייה \( \theta \) של המצפן מצפון היא הזווית בין הציר הצפוני לבין וקטור השדה השקול (השחזור ההיפוטנוזי של \( \vec{B}_1 \) ו-\( \vec{B}_{E\parallel}+\vec{B}_2 \)), כאשר:

$$ \tan\theta = \frac{B_1}{B_{E\parallel}+B_2} $$

ה. חישוב \( i_1 \) כך ש-\( \tan\theta=1.4 \) במצב המסובב

נחשב את \( B_2 \) (עבור \( i_2=0.5\ \mathrm{A} \) שנמצא בסעיף ב'):

$$ B_2=\frac{\mu_0 N_2 i_2}{2R_2}=\frac{4\pi\times10^{-7}\times10\times0.5}{2\times0.10}\approx 3.14\times10^{-5}\ \mathrm{T} $$

נשים לב ליחס הנוח: \( \dfrac{B_2}{B_{E\parallel}} = i_2\cdot\dfrac{R_1}{R_2}\cdot(\text{שיפוע}) = 0.5\times1.5\times1.4 = 1.05 \), ולכן \( B_{E\parallel}+B_2 = B_{E\parallel}\times(1+1.05) = 2.05\, B_{E\parallel} \).

כמו כן, מתוך נוסחת סעיף ג', \( \dfrac{B_1}{B_{E\parallel}} = i_1\times(\text{שיפוע}) = 1.4\,i_1 \) (זהו בדיוק היחס שמתאר את הגרף המקורי בלי התרומה של \( B_2 \)).

מציבים בנוסחה של סעיף ד':

$$ \tan\theta = \frac{B_1}{B_{E\parallel}+B_2} = \frac{1.4\,i_1\cdot B_{E\parallel}}{2.05\,B_{E\parallel}} = \frac{1.4\,i_1}{2.05} = 1.4 $$

ומכאן:

$$ i_1 = 2.05\ \mathrm{A} $$