בגרות – חלקיק טעון בין אזורי שדה מגנטי

נתוני השאלה

חלקיק בעל מסה m ומטען חיובי q נכנס לאזור מלבני AKCD שבו שורר שדה מגנטי אחיד \( \vec{B_1} \) שכיוונו מאונך לדף. החלקיק נכנס לשדה בנקודה M במאונך לצלע AK, ויוצא ממנו בנקודה N במאונך לצלע KC (תרשים 1). נתון: \( q=1.6\cdot10^{-19}\,C \), \( v_0=2\cdot10^6\,m/s \), \( B_1=0.05\,T \), \( t_1=3.279\cdot10^{-7}\,s \).

סעיף א - כיוון השדה המגנטי B1

המסלול הוא רבע מעגל שמרכזו בקודקוד K: ב-M החלקיק נע לימין (לכיוון +x), וב-N הוא נע כלפי מעלה (+y) - כלומר הפנייה היא נגד כיוון השעון.

הכוח המגנטי \( \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B} \) חייב להיות צנטריפטלי (מכוון אל המרכז K). ב-M, לכיוון המרכז פירושו כוח כלפי מעלה (+y). בודקים: אם \( \vec{B_1} \) מכוון לתוך הדף (-z), אז \( \vec{v}\times\vec{B}=v_0\hat{x}\times(-B_1\hat{z})=v_0B_1\hat{y} \) - כלומר כוח כלפי מעלה, בדיוק כנדרש (מכיוון ש-q חיובי).

מסקנה: \( \vec{B_1} \) מכוון לתוך הדף.

סעיף ב - מציאת מסת החלקיק

הזמן t1 הוא הזמן למעבר רבע מעגל, כלומר רבע מהמחזור:

$$ t_1 = \frac{T}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{2\pi m}{qB_1} = \frac{\pi m}{2qB_1} $$

מבודדים את m:

$$ m = \frac{2qB_1t_1}{\pi} = \frac{2\cdot1.6\cdot10^{-19}\cdot0.05\cdot3.279\cdot10^{-7}}{\pi} \approx 1.67\cdot10^{-27}\,kg $$

זוהי בדיוק מסת הפרוטון - החלקיק הוא פרוטון.

סעיף ג - שדה מגנטי נוסף B2

מעל האזור הראשון (KJFC) יוצר שדה מגנטי אחיד נוסף \( \vec{B_2} \), הפועל על אותם חלקיקים שיצאו מ-AKCD במהירות \( v_0 \) (תרשים 2). החלקיק נכנס ב-N (על הקו KC) כשהוא נע כלפי מעלה, מבצע חצי מעגל, ויוצא ב-P על אותו קו KC כשהוא נע כלפי מטה. נתון: \( KP=62.6\,cm \).

רדיוס התנועה באזור הראשון (מסעיף ב, גם גיאומטרית - רבע מעגל שמרכזו ב-K):

$$ r_1 = \frac{mv_0}{qB_1} = \frac{1.67\cdot10^{-27}\cdot2\cdot10^6}{1.6\cdot10^{-19}\cdot0.05} \approx 0.4175\,m = 41.75\,cm = KN $$

המרחק NP הוא קוטר חצי המעגל באזור B2:

$$ NP = KP - KN = 62.6 - 41.75 = 20.85\,cm \quad\Rightarrow\quad r_2 = \frac{NP}{2} \approx 10.425\,cm = 0.10425\,m $$

מכאן גודל B2:

$$ B_2 = \frac{mv_0}{qr_2} = \frac{1.67\cdot10^{-27}\cdot2\cdot10^6}{1.6\cdot10^{-19}\cdot0.10425} \approx 0.2\,T $$

כיוון B2: ב-N החלקיק נע כלפי מעלה (+y) ופונה ימינה (לכיוון P, +x) - כלומר הכוח ב-N מכוון ימינה. בדיקה דומה לסעיף א מראה שכדי לקבל כוח ב-+x כאשר \( \vec{v}=v_0\hat{y} \), צריך \( \vec{B_2} \) לצאת מהדף (כיוון הפוך מ-B1).