בגרות – חלקיקים בשני חצאי מעגל

נתוני השאלה

מתוארת מערכת להאצת חלקיקים טעונים המכונה ציקלוטרון: שני חצאי עיגול M ו-N, המופרדים זה מזה באזור מלבני C. בכל חצי עיגול פועל שדה מגנטי אחיד \( \vec{B} \) (גודלו קבוע, כיוונו לתוך הדף), הניצב למסלול תנועת החלקיקים. באזור C אין שדה מגנטי, אך יש שדה חשמלי אחיד E, שכיוונו מתהפך בכל פעם שהחלקיק משלים חצי הקפה - כך שהוא תמיד מאיץ את החלקיק במעברו בין חצאי העיגול.

סעיף א(1) - מדוע התנועה מעגלית ומדוע הרדיוס גדל

בכל חצי עיגול השדה המגנטי מפעיל על החלקיק כוח בגודל קבוע \( qvB \), הניצב תמיד למהירות. כוח כזה הוא כוח צנטריפטלי טהור שאינו משנה את גודל המהירות (רק את כיוונה) - ולכן התנועה בכל חצי עיגול היא מעגלית (בקירוב) במהירות קבועה.

בכל מעבר באזור C השדה החשמלי מאיץ את החלקיק, ומגדיל את מהירותו v. מכיוון שרדיוס המעגל הוא:

$$ r = \frac{mv}{qB} $$

ומכיוון ש-m, q, B קבועים, גידול ב-v גורר גידול ישר-פרופורציוני ב-r. לכן הרדיוס הולך וגדל בכל חצי-הקפה נוסף.

סעיף א(2) - כיוון הסיבוב של הפרוטון

עבור מטען חיובי הנע במהירות \( \vec{v}=v\hat{x} \) בשדה מגנטי המכוון לתוך הדף \( \vec{B}=-B\hat{z} \):

$$ \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B} = qv\hat{x}\times(-B\hat{z}) = qvB\,\hat{y} $$

כלומר כאשר הפרוטון נע ימינה, הכוח עליו מופנה כלפי מעלה - הוא פונה שמאלה. תנועה כזו, כאשר הכוח הצנטריפטלי "מסובב" את כיוון התנועה שמאלה בהתמדה, היא תנועה נגד כיוון השעון.

סעיף ב - הוכחה: זמן חצי הקפה זהה ב-M וב-N

זמן חצי הקפה (מחצית המחזור) בתנועה מעגלית במהירות v ורדיוס \( r=mv/(qB) \) הוא:

$$ t_{\frac{1}{2}} = \frac{T}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi r}{v} = \frac{\pi r}{v} = \frac{\pi}{v}\cdot\frac{mv}{qB} = \frac{\pi m}{qB} $$

הביטוי \( \frac{\pi m}{qB} \) אינו תלוי כלל במהירות v (ולכן גם לא ברדיוס r) - הוא תלוי רק בגדלים הקבועים m, q, B, שזהים בשני חצאי העיגול (אותו חלקיק, אותו גודל שדה מגנטי).

לכן, למרות שהמהירות (והרדיוס) של הפרוטון גדולים יותר בחצי העיגול N מאשר ב-M (כי הוא הואץ באזור C), זמן המעבר בשני החצאים זהה:

$$ t_M = t_N = \frac{\pi m}{qB} $$

זוהי בדיוק התכונה המאפשרת לציקלוטרון לפעול: תדירות הסיבוב קבועה, כך שניתן להפוך את כיוון השדה החשמלי בקצב קבוע, בלי תלות במהירות החלקיק.