בגרות – זרם מושרה בטבעת ליד סולנואיד
פתרון: בגרות קיץ תשפ"ה 2025, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 6
סליל ארוך (סולנואיד) שבתוכו זורם זרם משתנה \( I_1(t)=I_0\sin(\omega t) \) עטוף בתוך טבעת מוליכה קואקסיאלית (רדיוס הטבעת \( R \) גדול מרדיוס הסולנואיד \( r \)), המחוברת בטור לנורה \( K \) ולדיודה אידיאלית \( A_2 \) (ודרך נגד \( A_1 \) לחוט המתח).
א. האם הנורה יכולה לדלוק?
הטענה שגויה. השדה המגנטי שיוצר הסולנואיד עובר גם דרך שטח הטבעת המוליכה, כלומר קיים שטף מגנטי \( \Phi_B \) דרכה. מכיוון שהזרם בסולנואיד משתנה ברציפות בזמן, גם השטף המגנטי דרך הטבעת משתנה ברציפות. לפי חוק פאראדיי, שינוי בזמן של השטף המגנטי יוצר כא"מ מושרה בטבעת, וכתוצאה מכך גם זרם מושרה - שיכול להפעיל את הנורה ולהאיר אותה, גם בלי מגע ישיר בין הסולנואיד לטבעת.
ב. צורת הגרף של הזרם המושרה \( I_2(t) \)
השדה המגנטי בתוך הסולנואיד, ולכן גם השטף המגנטי דרך הטבעת, פרופורציוניים לזרם \( I_1 \):
$$ B_1 \propto I_1 = I_0\sin(\omega t) \qquad \Phi_B = B_1\cdot \pi r^2 \propto \sin(\omega t) $$
לפי חוק פאראדיי-לנץ, הכא"מ המושרה (ולכן גם \( I_2 \)) פרופורציוני לנגזרת של השטף לפי הזמן:
$$ \varepsilon_2 \propto -\frac{d\Phi_B}{dt} \propto -\cos(\omega t) $$
כלומר \( I_2(t) \) הוא גרף קוסינוס הפוך (מתחיל בערך שלילי מקסימלי בזמן \( t=0 \), לא באפס כמו \( I_1 \)). זהו הגרף שבו בזמן \( t=0 \), כאשר \( I_1 \) עולה במהירות המקסימלית שלו (השיפוע של \( I_1 \) מקסימלי), הזרם המושרה \( I_2 \) מגיע לערך הקיצוני שלו - בהתאמה לכיוון המנוגד למגמת \( I_1 \).
ג. נוסחה לכא"מ המושרה המרבי בטבעת
נציב את \( I_1 \) בביטוי לשדה בתוך סולנואיד ארוך עם \( N \) כריכות באורך \( L \):
$$ B_1(t) = \mu_0\frac{N}{L} I_0\sin(\omega t) $$
השטף דרך הטבעת נקבע לפי שטח הסולנואיד (\( \pi r^2 \), ולא שטח הטבעת, כי מחוצה לסולנואיד אין שדה מגנטי משמעותי):
$$ \Phi_B(t) = \mu_0\frac{N}{L} I_0\pi r^2\sin(\omega t) $$
לפי חוק פאראדיי:
$$ \varepsilon_2(t) = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\mu_0\frac{N}{L} I_0\pi r^2\omega\cos(\omega t) $$
ומכאן הערך המרבי:
$$ \varepsilon_{2,\max} = \mu_0\frac{N}{L}\pi r^2 I_0\omega $$
ד. כמה כריכות צריך להוסיף לטבעת כדי שהנורה תדלוק כראוי?
נתונים: \( \frac{N}{L}=4000\ \mathrm{m^{-1}} \) (של הסולנואיד), \( \omega=314\ \mathrm{s^{-1}} \), \( I_0=2.42\ \mathrm{A} \), \( r=10\ \mathrm{cm} \), \( R=12\ \mathrm{cm} \), והמתח הדרוש על הנורה \( V_{max}=3\ \mathrm{V} \).
מציבים בנוסחה מסעיף ג' עם כריכה אחת בטבעת (\( N_{ring}=1 \)) ומקבלים כא"מ מרבי התחלתי של כ-\( 0.12\ \mathrm{V} \) - נמוך משמעותית מ-3 הוולט הנדרשים.
מכיוון שהכא"מ המרבי פרופורציוני ישירות למספר הכריכות בטבעת \( N_{ring} \), צריך להגדיל את מספר הכריכות בטבעת פי:
$$ \frac{3}{0.12} = 25 $$
כלומר יש להגדיל את מספר הכריכות בטבעת המוליכה פי 25 (מכריכה אחת ל-25 כריכות), כדי שהכא"מ המושרה המרבי יגיע ל-3V כנדרש להדלקת הנורה כראוי.
ה. מדוע ההצעה השנייה (הגדלת רדיוס הסולנואיד) אינה עובדת
ההצעה השנייה הייתה להשאיר את אותה צפיפות כריכות \( N/L \) בסולנואיד, אך להשתמש בסולנואיד ארוך יותר שרדיוסו גדול יותר מרדיוס הטבעת עצמה - כך שכל הטבעת "שוכנת" בתוך הסולנואיד.
הצעה זו אינה עובדת: השטף המגנטי העובר דרך הטבעת מוגבל לשטח הטבעת עצמה (\( \pi R_{ring}^2 \)), ולא לשטח הסולנואיד. ברגע שרדיוס הסולנואיד גדול מרדיוס הטבעת, השדה המגנטי הנוסף שנוצר מעבר לגבולות הטבעת פשוט אינו עובר דרכה - ואינו תורם לשטף המגנטי או לכא"מ המושרה בה. לכן הגדלת רדיוס הסולנואיד מעבר לרדיוס הטבעת לא תגדיל את המתח על הנורה, ולא תשיג את המטרה.