בגרות – שדה מגנטי משתנה במסגרת מרובעת

מונחי יסוד בחשמל השראות בגרות – שדה מגנטי משתנה במסגרת מרובעת

בתהליך

פתרון: בגרות קיץ תשפ"ג 2023, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 6

מסגרת חוטית מרובעת (ריבוע בצלע $ a=50\ \mathrm{cm} $, התנגדות $ R=2\Omega $) מונחת במישור הדף, ובתוכה פועל שדה מגנטי אחיד $ B $, הניצב למישור המסגרת (לתוך הדף). עוצמת השדה $ B(t) $ נתונה בגרף המחולק לשלושה תחומי זמן: I) $ 0\le t\le 0.2\mathrm{s} $ - שדה קבוע; II) $ 0.2\mathrm{s}\le t\le 1.0\mathrm{s} $ - שדה משתנה בצורת פרבולה שמגיעה לשיא באמצע הקטע; III) $ 1.0\mathrm{s}\le t\le 1.2\mathrm{s} $ - שדה קבוע (שווה לערכו בתחום I).

א. שטף מגנטי, כא"מ מושרה וזרם מושרה בכל אחד משלושת התחומים

שטח המסגרת: $ A=a^2=0.5^2=0.25\ \mathrm{m^2} $.

תחום I ($ 0\le t\le 0.2\mathrm{s} $): השדה קבוע על $ B=0.09\ \mathrm{T} $, ולכן השטף קבוע:

$$ \Phi_1 = B\cdot A = 0.09\times 0.25 = 0.0225\ \mathrm{T\cdot m^2} $$

שטף קבוע ⟸ אין שינוי בזמן ⟸ $ \varepsilon_1=0 $, $ I_1=0 $.

תחום II ($ 0.2\mathrm{s}\le t\le 1.0\mathrm{s} $): לפי נתוני הגרף (שדה עולה מ-0.09T ב-t=0.2s לשיא של 0.25T ב-t=0.6s, וחוזר ל-0.09T ב-t=1.0s), השטף מתואר על ידי:

$$ \Phi_2(t) = -0.25t^2+0.3t-0.0275\ \ \mathrm{T\cdot m^2} $$

הכא"מ המושרה הוא מינוס נגזרת השטף:

$$ \varepsilon_2(t) = -\frac{d\Phi_2}{dt} = 0.5t-0.3\ \ \mathrm{V} $$

והזרם המושרה לפי חוק אוהם:

$$ I_2(t) = \frac{\varepsilon_2(t)}{R} = \frac{0.5t-0.3}{2} = 0.25t-0.15\ \ \mathrm{A} $$

(בדיקה: ב-t=0.2s מתקבל $ I=-0.1\mathrm{A} $, וב-t=1.0s מתקבל $ I=0.1\mathrm{A} $ - בהתאמה מלאה לגרף.)

תחום III ($ 1.0\mathrm{s}\le t\le 1.2\mathrm{s} $): שוב שדה קבוע ($ B=0.09\mathrm{T} $, $ \Phi_3=0.0225\ \mathrm{T\cdot m^2} $) ⟸ $ \varepsilon_3=0 $, $ I_3=0 $.

ב. כיוון הזרם ברגע t=0.3s

ברגע זה נמצאים בתחום II, לפני נקודת השיא (t=0.6s), כלומר השדה המגנטי (הפונה לתוך הדף) עדיין הולך וגדל, ולכן גם השטף המגנטי לתוך הדף גדל.

לפי חוק לנץ, הזרם המושרה מתנגד לגידול בשטף - כלומר יוצר שדה מגנטי משלו שמכוון החוצה מהדף בתוך המסגרת. לפי כלל יד ימין (כלל הבורג), זרם שיוצר שדה החוצה מהדף זורם נגד כיוון השעון.

ג. גרף עוצמת הזרם I(t) מ-t=0 עד t=1.2s

הגרף שווה לאפס בתחומים I ו-III ($ 0\le t\le 0.2\mathrm{s} $ ו-$ 1.0\mathrm{s}\le t\le 1.2\mathrm{s} $), ובתחום II הוא קו ישר עולה $ I(t)=0.25t-0.15 $: מתחיל ב-$ I=-0.1\mathrm{A} $ ב-t=0.2s, עובר באפס ב-t=0.6s (נקודת השיא של השדה), ומגיע ל-$ I=+0.1\mathrm{A} $ ב-t=1.0s.

ד. כמות המטען שעבר בתיל

כמות המטען שווה לשטח הכלוא בין גרף $ I(t) $ לציר הזמן, וניתן לחשב אותה גם ישירות מהפרש השטף:

$$ Q=\frac{|\Delta\Phi|}{R} $$

מ-t=0 עד t=0.6s: $ \Delta\Phi = \Phi(0.6)-\Phi(0.2) = 0.0625-0.0225=0.04\ \mathrm{T\cdot m^2} $ (בתחום I אין שינוי בשטף, כך שכל התרומה מגיעה מהקטע 0.2s-0.6s), ולכן:

$$ Q = \frac{0.04}{2} = 0.02\ \mathrm{C} $$

מ-t=0.6s עד t=1.2s: $ \Delta\Phi = \Phi(1.0)-\Phi(0.6) = 0.0225-0.0625=-0.04\ \mathrm{T\cdot m^2} $ (ובתחום III שוב אין שינוי), כך שגודל המטען זהה:

$$ Q = \frac{0.04}{2} = 0.02\ \mathrm{C} $$

כלומר כמות המטען שעברה בשני התתי-תחומים שווה - וזה הגיוני, שכן השטח הכלוא מתחת לגרף $ I(t) $ זהה בגודלו (רק הפוך בסימן) בשני הקטעים, בשל הסימטריה של גרף השדה סביב נקודת השיא.

ה. באיזה תת-תחום הכוחות המגנטיים פעלו להרחבת המסגרת?

התשובה: בתחום $ 0.8\mathrm{s}\le t\le 1.0\mathrm{s} $.

הסבר: בתחום זה (אחרי נקודת השיא) השדה המגנטי לתוך הדף הולך וקטן, ולכן הזרם המושרה (לפי לנץ) מנסה לשמר את השטף - זורם עם כיוון השעון כדי ליצור שדה נוסף לתוך הדף.

עבור מסגרת שבה הזרם זורם עם כיוון השעון והשדה החיצוני מכוון לתוך הדף, הכוח $ \vec{F}=I\vec{L}\times\vec{B} $ הפועל על כל צלע מכוון החוצה מהמסגרת - כלומר הכוחות פועלים להרחיב את המסגרת.

(לשם השוואה: בתחום 0.2s-0.4s, לפני השיא, הזרם המושרה זורם נגד כיוון השעון בעוד השדה עדיין גדל - ואז הכוחות פועלים דווקא לכווץ את המסגרת, לא להרחיב אותה. בתחומים I ו-III אין זרם כלל, ולכן אין כוח.)

📄 (dragged)