בגרות – גזירה לחישוב כא״מ
פתרון: בגרות קיץ תשפ"ב 2022, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 6
תיל מוליך בצורת משולש ישר-זווית שווה-שוקיים KLM (שטח \( S_{KLM}=100\ \mathrm{cm^2}=0.01\ \mathrm{m^2} \), התנגדות \( R=1.2\Omega \)) נמצא בתוך אזור מלבני EFGH שבו שורר שדה מגנטי אחיד \( B \), הניצב למישור המשולש ומשתנה עם הזמן לפי הגרף הנתון (יורד מ-0 ל-0.5T- בין \( t=0 \) ל-\( t=5\mathrm{ms} \), קבוע על 0.5T- בין \( t=5\mathrm{ms} \) ל-\( t=15\mathrm{ms} \), ועולה בקו ישר בחזרה עד ל-0.5T+ ב-\( t=30\mathrm{ms} \)). הכיוון החיובי של הזרם בתיל מוגדר מ-L ל-M. נתון שבפרק הזמן \( 0<t<5\mathrm{ms} \) זורם בתיל זרם חשמלי מושרה שכיוונו מ-L ל-M.
א. כיוון השדה המגנטי המושרה בפרק הזמן \( 0<t<5\mathrm{ms} \)
הזרם בתחום זה זורם בכיוון \( L\to M\to K\to L \), שהוא כיוון נגד כיוון השעון (כפי שניתן לוודא לפי מיקומי הקודקודים באיור). לפי כלל יד ימין (כלל הבורג), זרם הזורם נגד כיוון השעון (כפי שנראה מצד הקורא) יוצר שדה מגנטי מושרה שכיוונו החוצה מהדף.
ב. כיוון השדה המגנטי האחיד באותו פרק זמן
לפי חוק לנץ, השדה המושרה מתנגד לגורם ליצירתו - כלומר לשינוי בשטף השדה האחיד. מכיוון שהשדה המושרה הוא החוצה מהדף, השינוי שהוא "נלחם" בו הוא גידול בשטף לכיוון לתוך הדף. לפי הגרף, בפרק זמן זה עוצמת \( B \) גדלה בגודלה (מ-0 ל-0.5T-), ולכן השדה המגנטי האחיד מכוון לתוך הדף (וכיוון "שלילי" על ציר הגרף מסמן, לפי זה, שדה לתוך הדף).
ג. הזרם המושרה בכל אחד משלושת קטעי הזמן
קטע 1 (\( 0<t<5\mathrm{ms} \)): \( \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|=\frac{0.5}{0.005}=100\ \mathrm{T/s} \)
$$ |\varepsilon_1| = S_{KLM}\cdot\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| = 0.01\times 100 = 1\ \mathrm{V} \qquad I_1=\frac{1}{1.2}=\frac{5}{6}\approx 0.83\ \mathrm{A}\ \ (\text{מ-L ל-M, כפי שניתן}) $$
קטע 2 (\( 5\mathrm{ms}<t<15\mathrm{ms} \)): השדה קבוע (שטוח בגרף) ⟸ אין שינוי בשטף ⟸ \( I_2=0 \) (אין כיוון מוגדר).
קטע 3 (\( 15\mathrm{ms}<t<30\mathrm{ms} \)): \( \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|=\frac{1.0}{0.015}=66.67\ \mathrm{T/s} \) (מ-0.5T- ל-0.5T+ במהלך 15ms)
$$ |\varepsilon_3| = 0.01\times 66.67 \approx 0.667\ \mathrm{V} \qquad I_3=\frac{0.667}{1.2}=\frac{5}{9}\approx 0.56\ \mathrm{A} $$
כיוון: בקטע זה \( B \) עולה לאורך כל הקטע (שיפוע חיובי קבוע), כלומר השטף לתוך הדף הולך וקטן (ולאחר מכן הופך לשטף החוצה מהדף שהולך וגדל) - שינוי רציף באותו כיוון לאורך כל הקטע. לפי לנץ, הזרם המושרה מתנגד לכך ומנסה לשמר שדה לתוך הדף, ולכן זורם בכיוון הפוך לזה שבקטע 1 - כלומר מ-M ל-L (כיוון שלילי לפי ההגדרה).
ד. ההספק החשמלי בתיל ברגע t=20ms
הרגע \( t=20\mathrm{ms} \) נמצא בתוך קטע 3, שבו הזרם קבוע בגודלו \( I_3\approx 0.56\ \mathrm{A} \):
$$ P = I_3^2\cdot R = \left(\frac{5}{9}\right)^2\times 1.2 = \frac{25}{81}\times 1.2 \approx 0.37\ \mathrm{W} $$
ה. יציאת התיל המשולש משדה מגנטי (תרחיש נוסף)
בתרחיש זה השדה המגנטי קבוע בזמן ותפוס באזור קבוע במרחב, והתיל המשולש נע ימינה במהירות קבועה ויוצא מהאזור של השדה. השאלה: האם עוצמת הזרם המושרה בפרק הזמן שבו התיל יוצא מהשדה - מרגע שהוא מתחיל לצאת ועד שהוא יוצא לגמרי - קבועה או משתנה?
התשובה: עוצמת הזרם משתנה (אינה קבועה).
הסבר: מכיוון שהתיל בצורת משולש (ולא מלבן), הרוחב שלו (בכיוון התנועה) אינו אחיד - הוא משתנה בהדרגה ככל שחלקים שונים של המשולש חוצים את גבול אזור השדה. כתוצאה מכך, שטח המשולש שעדיין נמצא בתוך אזור השדה הוא פונקציה לא-ליניארית של הזמן (למעשה, פונקציה ריבועית של t עבור משולש היוצא בקצה חד), ולכן גם קצב השינוי של השטח (וכתוצאה מכך גם קצב השינוי של השטף המגנטי, שקובע את הכא"מ המושרה) אינו קבוע - הוא תלוי בזמן. משום כך גם עוצמת הזרם המושרה בפרק זמן זה אינה קבועה, אלא משתנה.
ו. השוואה בין שני תיליים - האם השטח הכלוא על ידי התיל קובע את הכא"מ?
בשתי מערכות נוספות קיים אותו אזור שדה מגנטי אחיד (עיגול), אך התיל המוליך שונה: בתרשים א' התיל מוצב כעיגול הצמוד בדיוק לגבול אזור השדה; בתרשים ב' התיל מוצב כריבוע גדול יותר, שמקיף גם הוא את אותו אזור שדה עיגולי (אך שטחו הכולל של הריבוע גדול משטח העיגול).
הטענה שיש לבדוק: הכא"מ המושרה בתיל שבתרשים ב' (הריבוע) גדול יותר מהכא"מ המושרה בתיל שבתרשים א' (העיגול), כי השטח הכלוא בתיל ב' גדול יותר.
הטענה שגויה.
הסבר: גודל הכא"מ המושרה תלוי בקצב השינוי של השטף המגנטי בפועל - כלומר בשטף העובר רק דרך האזור שבו קיים שדה מגנטי בכלל (העיגול), ולא בשטח הכולל שתוחם התיל. מחוץ לעיגול אין שדה מגנטי כלל, כך שהגדלת שטח הלולאה מעבר לגבולות אזור השדה (כפי שקורה בתיל הריבועי) אינה מוסיפה שטף נוסף. מכיוון שאזור השדה (העיגול) זהה בשני המקרים, גם השטף המגנטי דרכו וקצב שינויו זהים - ולכן הכא"מ המושרה זהה בשני התרשימים, ולא גדול יותר בתרשים ב'.