בגרות – אלומת פרוטונים, שדה חשמלי ומגנטי מאוזנים
פתרון: בגרות קיץ תשפ"ג 2023, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 5
אלומת פרוטונים נעה עד לפגיעתה במסך פלואורסנטי (הנותן נקודת אור). בתחילת המסלול האלומה נכנסת במהירות \( v=10^6\ \mathrm{m/s} \) לאזור שבו שורר שדה מגנטי אחיד \( B_1=0.12\ \mathrm{T} \), הניצב למישור הדף. בהמשך דרכה למסך, האלומה עוברת בין שני לוחות מתכת מוליכים P ו-Q המחוברים למקור מתח (הפרש הפוטנציאלים ביניהם \( V=800\ \mathrm{V} \), והמרחק ביניהם \( x=5\ \mathrm{cm}=0.05\ \mathrm{m} \)). בין הלוחות שורר גם שדה חשמלי אחיד \( E \) וגם שדה מגנטי אחיד \( B_2 \) (מכוון כמו \( B_1 \)), הנבחרים כך שהאלומה עוברת ביניהם בקו ישר, ללא שינוי כיוון, עד לפגיעתה בנקודה M על המסך. יש להתעלם מהשפעת כוח הכבידה בשאלה כולה.
א. כיוון השדה B1 (1) וגודל רדיוס המסלול (2)
(1) קביעת הכיוון (לתוך הדף או החוצה מהדף) נגזרת מכיוון הסטייה של מסלול האלומה מכיוון הכניסה שלה, כפי שמוצג בתרשים המקורי, באמצעות כלל יד ימין על כיוון הכוח המרכזי הנדרש. שווה לוודא כיוון זה ישירות מול האיור בשאלון, מכיוון שהוא תלוי בזווית הסטייה המצוירת בו.
(2) לפי חוק ניוטון השני על תנועה מעגלית, \( qvB_1=\dfrac{mv^2}{R} \), ומכאן:
$$ R=\frac{mv}{qB_1}=\frac{1.67\times10^{-27}\times10^{6}}{1.6\times10^{-19}\times0.12}\approx0.087\ \mathrm{m}=8.7\ \mathrm{cm} $$
ב. גודל השדה החשמלי E בין הלוחות
$$ E=\frac{V}{x}=\frac{800}{0.05}=16000\ \mathrm{V/m}=1.6\times10^{4}\ \mathrm{V/m} $$
ג. גודל השדה המגנטי B2 בין הלוחות
מכיוון שהאלומה עוברת בין הלוחות בקו ישר וללא סטייה, הכוח החשמלי והכוח המגנטי הפועלים עליה שם מאזנים זה את זה (כמו ב"בורר מהירויות"):
$$ qE=qvB_2 \quad\Longrightarrow\quad B_2=\frac{E}{v}=\frac{16000}{10^6}=0.016\ \mathrm{T}=1.6\times10^{-2}\ \mathrm{T} $$
ד. משווים את פעולת B2 - האם המהירות במסך גדולה, קטנה או שווה?
לאחר עצירת פעולת \( B_2 \) (כשרק \( E \) פועל), האלומה סוטה ממסלולה הישר. השדה החשמלי (המאונך למהירות הראשונית) מפעיל כעת כוח בלתי-מאוזן על הפרוטונים, בדומה לזריקה אופקית: הרכיב המקורי של המהירות (לאורך כיוון הכניסה) נשאר קבוע, אך מתווסף לו רכיב מהירות נוסף בכיוון השדה החשמלי - ולכן גודל המהירות הכולל בפגיעה במסך גדול מגודל המהירות בפגיעה בנקודה M (שבה, לעומת זאת, שני השדות היו מאוזנים ולא בוצעה עבודה כוללת על הפרוטונים, כך שמהירותם נשארה קבועה וזהה לזו שבכניסה).
ה. משך זמן התנועה בין הלוחות - גדול, קטן או שווה?
משך הזמן שווה בשני המקרים.
נימוק: השדה החשמלי (לאחר הפסקת \( B_2 \)) מפעיל כוח המאונך לכיוון התנועה המקורי (האופקי) של הפרוטונים. כוח זה משנה רק את רכיב המהירות המאונך, ואינו משפיע כלל על רכיב המהירות המקורי (האופקי) - בדיוק כמו בזריקה אופקית, שם זמן הנפילה אינו תלוי במהירות האופקית. מכיוון שהמרחק ההורזונטלי בין הלוחות (\( x \)) קבוע ורכיב המהירות ההורזונטלי של הפרוטונים אינו משתנה, משך הזמן שהם שוהים בין הלוחות זהה בשני המקרים - הן כאשר \( B_2 \) פעל והן לאחר שהופסק.