בגרות – כוח לורנץ וקולון
פתרון: בגרות קיץ תשפ"ד 2024, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 5
חלקיק בעל מסה \( m \) ומטען חיובי \( q \) נכנס למלבן AKCD שבו שורר שדה מגנטי אחיד \( \vec{B}_1 \) הניצב לדף. החלקיק נכנס לשדה בנקודה M (על הצלע AK, בכיוון מאונך ל-AK) ויוצא ממנו בנקודה N (על הצלע KC, בכיוון מאונך ל-KC).
נתון: \( q=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C} \), \( v_0=2\times10^6\ \mathrm{m/s} \) (מהירות הכניסה), \( B_1=0.05\ \mathrm{T} \), \( t_1=3.279\times10^{-7}\ \mathrm{s} \) (זמן השהייה בשדה \( B_1 \)). יש להתעלם מהשפעת כוח הכבידה בשאלה כולה.
א. כיוון השדה B1
החלקיק נכנס ב-M כשמהירותו לאורך AK (כלפי מעלה, לכיוון K), ויוצא ב-N כשמהירותו לאורך KC (לכיוון C) - כלומר מבצע פנייה ברבע מעגל בכיוון נגד השעון (מ-M ל-N דרך הפינה הפנימית של המלבן). לפי כלל יד ימין, על מנת שהכוח המגנטי (המרכזי) על מטען חיובי הנע כך יגרום לפנייה נגד השעון, השדה \( B_1 \) חייב להיות לתוך הדף.
ב. מסת החלקיק
זמן המעבר מ-M ל-N הוא רבע ממחזור התנועה המעגלית המלאה (כניסה מאונכת לצלע אחת, יציאה מאונכת לצלע הסמוכה):
$$ T=4t_1=4\times3.279\times10^{-7}=1.3116\times10^{-6}\ \mathrm{s} $$
מנוסחת המחזור \( T=\dfrac{2\pi m}{qB_1} \):
$$ m=\frac{qB_1T}{2\pi}=\frac{1.6\times10^{-19}\times0.05\times1.3116\times10^{-6}}{2\pi}\approx1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg} $$
(ערך זה קרוב מאוד למסת הפרוטון - סבירות פיזיקלית טובה.)
ג. גודל וכיוון השדה B2
יוצרים שדה מגנטי אחיד נוסף \( \vec{B}_2 \) (גם הוא ניצב לדף) במלבן KJFC שמעל AKCD. החלקיק, לאחר יציאתו ב-N (ממשיך באותה מהירות \( v_0 \)), נכנס ל-KJFC וממשיך במסלול מעגלי עד שהוא יוצא בחזרה דרך הצלע KC, בנקודה P, כשהוא נע כלפי מטה (בחזרה לתוך AKCD). נתון \( KP=62.6\ \mathrm{cm} \).
מכיוון שהחלקיק נכנס ל-KJFC מאונך ל-KC (כלפי מעלה) ויוצא ממנו שוב מאונך ל-KC (כלפי מטה) - דרך אותה צלע - זהו חצי מעגל, שהקוטר שלו הוא המרחק NP.
תחילה מוצאים את \( KN=R_1 \) (רדיוס המסלול ב-\( B_1 \)):
$$ R_1=\frac{mv_0}{qB_1}=\frac{1.67\times10^{-27}\times2\times10^6}{1.6\times10^{-19}\times0.05}\approx0.417\ \mathrm{m}=41.7\ \mathrm{cm} $$
ומכאן:
$$ NP=KP-KN=62.6-41.7=20.9\ \mathrm{cm}\quad\Longrightarrow\quad R_2=\frac{NP}{2}\approx10.4\ \mathrm{cm}=0.104\ \mathrm{m} $$
וגודל השדה:
$$ B_2=\frac{mv_0}{qR_2}=\frac{1.67\times10^{-27}\times2\times10^6}{1.6\times10^{-19}\times0.104}\approx0.20\ \mathrm{T} $$
כיוון: הפנייה מ-N ל-P (מהצד השמאלי אל הצד הימני של הקוטע, תוך פנייה ב"קשת" שמעל KC) היא פנייה עם כיוון השעון - הפוכה מהפנייה ב-\( B_1 \). לכן, לפי כלל יד ימין, \( B_2 \) מכוון החוצה מהדף (הפוך מ-\( B_1 \)).
ד. השדה החשמלי E
מוסיפים למלבן AKCD שני לוחות טעונים שביניהם שדה חשמלי אחיד \( \vec{E} \). לאחר שהחלקיק עובר ב-P, הוא נכנס שוב ל-AKCD ונע בקו ישר בין שני הלוחות (כלפי מטה), עד שהוא יוצא בנקודה Z (על הצלע AD).
מכיוון שהחלקיק ממשיך במסלול ישר בין הלוחות (למרות ששדה \( B_1 \) עדיין קיים שם), הכוח החשמלי מאזן בדיוק את הכוח המגנטי - "בורר מהירויות":
$$ qE=qv_0B_1\quad\Longrightarrow\quad E=v_0B_1=2\times10^6\times0.05=1\times10^5\ \mathrm{V/m} $$
כיוון: החלקיק נע כלפי מטה (מ-P ל-Z) בתוך \( B_1 \) (לתוך הדף) - הכוח המגנטי על מטען חיובי הנע כלפי מטה בשדה כזה מכוון הצידה, לעבר הצלע KC/DC (ימינה, מ-AK לכיוון KC). כדי לאזן כוח זה, הכוח החשמלי (ולכן גם \( \vec{E} \), שכן המטען חיובי) חייב להיות מכוון בכיוון ההפוך - שמאלה, מהצלע KC/DC לכיוון AK (כלומר מהלוח הימני אל הלוח השמאלי).
ה. תרחיש הפוך - האם יש צורך להפוך אחד מהשדות?
בתרחיש חדש, אותו חלקיק (אותם \( m,q \)) עם אותה מהירות התחלתית \( v_0 \), נכנס הפעם בנקודה Z (מאונך ל-AD), ונע במסלול ההפוך \( Z\to P\to N\to M \), ויוצא ב-M (מאונך ל-AK).
יש צורך להפוך את הכיוון של \( \vec{B}_1 \) ושל \( \vec{B}_2 \). \( \vec{E} \) נשאר ללא שינוי.
נימוק:
הקטע הישר Z→P: כעת החלקיק נע כלפי מעלה (ולא כלפי מטה כמו קודם). אם \( B_1 \) לא היה מתהפך, הכוח המגנטי היה מתהפך כיוון (בגלל המהירות ההפוכה) ומצטרף לכוח החשמלי הבלתי-משתנה במקום לאזן אותו - שני הכוחות היו פועלים באותו כיוון, וההליכה הישרה הייתה נשברת. הפיכת \( B_1 \) הופכת גם את הכוח המגנטי בחזרה, כך שהוא שוב מאזן את הכוח החשמלי (שנשאר קבוע) - וההליכה נשארת ישרה.
הקטע המעוגל P→N (ב-\( B_2 \)): כעת על החלקיק "לחזור" מ-P ל-N דרך אותה קשת, אך בכיוון סיבוב הפוך (נגד כיוון השעון במקום עם כיוון השעון). פנייה בכיוון הפוך דורשת שדה מגנטי בכיוון הפוך - ולכן יש להפוך גם את \( \vec{B}_2 \).
הקטע המעוגל N→M (ב-\( B_1 \) המתהפך): לאחר שכבר הפכנו את \( B_1 \) (כפי שנדרש עבור הקטע הישר), בודקים שזה אכן גם נותן את הפנייה הנכונה מ-N חזרה ל-M: אכן, עם \( B_1 \) הפוך, מתקבלת פנייה ברבע מעגל בכיוון עם השעון, המובילה בדיוק מ-N ל-M כשהחלקיק יוצא מאונך ל-AK - כנדרש. כך שהיפוך \( B_1 \) האחד "עובד" גם עבור הקטע הישר וגם עבור קטע זה בו-זמנית.