שיעור הבא

משוואת מסלול בזריקה אופקית

מכניקה קינמטיקה בשני מימדים משוואת מסלול בזריקה אופקית

בתהליך

בזריקה אופקית הגוף נע במהירות קבועה בכיוון האופקי, ונופל בנפילה חופשית בכיוון האנכי. התנועה מתוארת בשתי משוואות:

תנועה אופקית (x):

$$ x = v_0 \cdot t $$

תנועה אנכית (y):

$$ y = y_0 - \frac{1}{2} g t^2 $$

כדי לקבל את משוואת המסלול, מוציאים את הזמן מהמשוואה האופקית:

$$ t = \frac{x}{v_0} $$

ומציבים אותו במשוואה האנכית:

$$ y = y_0 - \frac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 $$

$$ y = y_0 - \frac{g}{2 v_0^2} x^2 $$

זוהי משוואת המסלול הפרבולי של הגוף. היא נותנת את הגובה של הגוף בכל מקום אופקי, בלי צורך לדעת את הזמן.

קינמטיקה בשני ממדים

משוואת מסלול בזריקה אופקית

בזריקה אופקית יש לנו שתי משוואות: מקום אופקי כפונקציה של הזמן, ומקום אנכי כפונקציה של הזמן. נעלים את הזמן ונקבל משוואה אחת לצורת המסלול, ונפתור איתה תרגילים.

זריקה אופקיתהוצאת הזמןפרבולהתרגילים

הרעיון

מה זו משוואת מסלול?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף נזרק אופקית מגובה $20\ \text{m}$ במהירות $10\ \text{m/s}$. איך מתארים את צורת המסלול?

1. משוואות התנועה נותנות מקום כפונקציה של הזמן, בכל ציר בנפרד:$x(t),\quad y(t)$

2. משוואת המסלול מקשרת ישירות בין $y$ ל-$x$, בלי זמן. כך יודעים את הגובה בכל מקום אופקי.

הדרך: מוציאים את $t$ מהמשוואה האופקית, ומציבים במשוואה האנכית.

זריקה אופקית

מוציאים את הזמן

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גובה $y_0=20\ \text{m}$, מהירות $v_0=10\ \text{m/s}$, $g=10\ \text{m/s}^2$. מצאו את משוואת המסלול.

1. אופקית, מהירות קבועה. מוציאים את הזמן:$x=v_0t\ \Rightarrow\ t=\frac{x}{v_0}$

2. אנכית, נפילה ממנוחה. מציבים את $t$:$y=y_0-\tfrac12gt^2=y_0-\frac{g}{2v_0^2}x^2$

מציבים את המספרים: $\frac{10}{2\cdot10^2}=0.05$$y=20-0.05x^2$

שימו לב: זו פרבולה: $y$ תלוי ב-$x^2$.

זריקה אופקית

שימוש במשוואת המסלול

מההתחלההצג פתרון

שאלה: בעזרת $y=20-0.05x^2$: איפה הגוף פוגע בקרקע? ובאיזה גובה הוא כשהוא במרחק $10\ \text{m}$?

1. בקרקע $y=0$:$0=20-0.05x^2\ \Rightarrow\ x^2=400$

נקודת הנחיתה:$x=20\ \text{m}$

במרחק $10\ \text{m}$:$y=20-0.05\cdot10^2=15\ \text{m}$

שימו לב: בדיקה עם הזמן: $t=\frac{20}{10}=2\ \text{s}$, ובזמן הזה הגוף נופל $\tfrac12\cdot10\cdot2^2=20\ \text{m}$. מתאים.

נסו בעצמכם

לקלוע דרך שני סלים

מההתחלההצג פתרון

שאלה: הזיזו את נקודת הירי ואת שני הסלים, בחרו מהירות, ונסו להעביר את הכדור דרך שני הסלים.

1. משוואת המסלול בזריקה אופקית. למעלה רואים אותה עם הגובה והמהירות שבחרתם:$y=y_0-\frac{g}{2v_0^2}x^2$

2. שני הסלים נמצאים על המסלול, ולכן כל אחד מהם מקיים את המשוואה:$y_1=y_0-\frac{g}{2v_0^2}x_1^2$$y_2=y_0-\frac{g}{2v_0^2}x_2^2$

3. מחסרים את המשוואות. גובה הירי מצטמצם, ונשארת רק מהירות הירי:$y_1-y_2=\frac{g}{2v_0^2}\left(x_2^2-x_1^2\right)$$v_0=\sqrt{\frac{g\left(x_2^2-x_1^2\right)}{2\left(y_1-y_2\right)}}$

4. מציבים את מהירות הירי במשוואה של הסל הראשון:$y_0=y_1+\frac{g}{2v_0^2}x_1^2$

הכפתור ״פתרון״ מחשב את זה לפי המיקום הנוכחי של הסלים. הסל הרחוק חייב להיות נמוך יותר, אחרת אין פתרון.

מהירות הירי: 8.0 m/s

▶ ירי פתרון

גררו את נקודת הירי ואת הסלים

תרגיל 1

חבילה ממטוס

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מטוס טס אופקית ומשחרר חבילה. בדרך יש עץ. האם החבילה עוברת מעל העץ?

הנתונים:$y_0=500\ \text{m},\quad v_0=50\ \text{m/s}$$x_{tree}=400\ \text{m},\quad h_{tree}=30\ \text{m}$

1. משוואת המסלול בזריקה אופקית, ומציבים:$y=y_0-\frac{g}{2v_0^2}x^2$$y=500-\frac{10}{2\cdot50^2}x^2=500-0.002x^2$

2. הגובה של החבילה כשהיא מעל העץ:$y=500-0.002\cdot400^2$$y=500-320=180\ \text{m}$

החבילה עוברת הרבה מעל העץ:$180\ \text{m}>30\ \text{m}$

תרגיל 1

איפה נוחתת החבילה?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: איפה החבילה נוחתת?

1. משוואת המסלול שמצאנו:$y=500-0.002x^2$

2. בקרקע הגובה אפס:$0=500-0.002x^2$$x^2=\frac{500}{0.002}=250{,}000$

נקודת הנחיתה:$x=500\ \text{m}$

תרגיל 2

מהמשוואה אל הזריקה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: נתונה משוואת המסלול של גוף שנזרק אופקית. מאיזה גובה הוא נזרק, ובאיזו מהירות?

משוואת המסלול:$y=45-0.2x^2$

1. משווים למשוואה הכללית, איבר איבר:$y=y_0-\frac{g}{2v_0^2}x^2$$y=45-0.2x^2$

גובה הזריקה הוא המספר הקבוע:$y_0=45\ \text{m}$

2. המקדם של האיבר הריבועי:$\frac{g}{2v_0^2}=0.2$$v_0^2=\frac{10}{2\cdot0.2}=25$

מהירות הזריקה:$v_0=5\ \text{m/s}$

תרגיל 2

איפה הגוף נוחת?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: איפה הגוף נוחת?

1. בקרקע הגובה אפס:$0=45-0.2x^2$$x^2=\frac{45}{0.2}=225$

נקודת הנחיתה:$x=15\ \text{m}$

2. בדיקה עם זמן הנפילה:$t=\sqrt{\frac{2y_0}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot45}{10}}=3\ \text{s}$$x=v_0t=5\cdot3=15\ \text{m}$

סיכום

מה למדנו מהשאלה

מוציאים את הזמן$t=\frac{x}{v_0}$

משוואת המסלול$y=y_0-\frac{g}{2v_0^2}x^2$

נקודת נחיתה$y=0$

גובה הזריקההמספר הקבוע

טעויות נפוצות

לחפש זמן כשהשאלה על מקום. משוואת המסלול נותנת את הגובה ישירות מהמקום האופקי.

לשכוח את גובה הזריקה. כשזורקים מגובה, הוא המספר הקבוע במשוואה.

לשכוח את הריבוע של המהירות במכנה. המקדם הוא תאוצת הנפילה חלקי פעמיים ריבוע המהירות.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←