רחפן טס אופקית במהירות קבועה שגודלה \( v_x=3\ \mathrm{m/s} \). הרחפן משחרר כדור ממנוחה (ביחס אליו) מגובה \( 6\ \mathrm{m} \) מעל הקרקע.
א. זמן נפילת הכדור לקרקע
בציר האנכי הכדור נמצא בנפילה חופשית טהורה (מהירות אנכית התחלתית אפס). בוחרים כיוון חיובי כלפי מטה, וראשית בנקודת השחרור:
$$ y = \tfrac12 gt^2 \quad\Rightarrow\quad 6 = 5t^2 \quad\Rightarrow\quad t \approx 1.1\ \mathrm{s} $$
ב. מהירות הכדור ברגע הפגיעה בקרקע
תנועת הכדור היא זריקה אופקית מנקודת השחרור. הרכיב האופקי של מהירותו שווה למהירות הרחפן ואינו משתנה (אין כוח הפועל בכיוון האופקי):
$$ v_x = 3\ \mathrm{m/s} $$
הרכיב האנכי ברגע הפגיעה:
$$ v_y = v_{0y}+gt = 0+10\times1.1 = 11\ \mathrm{m/s} $$
גודל מהירות הפגיעה הכולל:
$$ v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{3^2+11^2} \approx 11.4\ \mathrm{m/s} $$
כיוון מהירות זו מתחת לקו האופקי:
$$ \tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{11}{3} \quad\Rightarrow\quad \theta \approx 74.7^\circ $$
ג. המרחק האופקי בין שני כדורים עוקבים
הרחפן משחרר כדור שני, זהה לראשון, כעבור \( \Delta t=0.5\ \mathrm{s} \). מכיוון ששני הכדורים נעים עם אותה מהירות אופקית קבועה כמו הרחפן (\( 3\ \mathrm{m/s} \)), בכל רגע נתון המרחק האופקי ביניהם שווה למרחק שעבר הרחפן (ועימו כל כדור) בפרק הזמן שביניהם:
$$ \Delta x = v_x\cdot\Delta t = 3\times0.5 = 1.5\ \mathrm{m} $$
ד. תרשים מיקומי הכדורים והרחפן
מכיוון שלכדורים המשתחררים יש בכל רגע את אותה מהירות אופקית כמו לרחפן, הכדורים והרחפן נמצאים תמיד על קו אחד, המאונך לקרקע (כלומר קו אנכי אחד, נע יחד עם כולם באותה מהירות אופקית). מכיוון שהמרחק האנכי בין הכדורים (שהשתחררו בזמנים שונים) הולך וגדל עם הזמן, עקב תאוצת הנפילה החופשית - התרשים הנכון הוא זה שמראה קו אנכי אחד, עם מרחקים הולכים וגדלים בין הכדורים.
ה. רחפן שנע בזווית α מתחת לאופק
במקרה השני הרחפן נע באותה מהירות, \( 3\ \mathrm{m/s} \), בזווית \( \alpha \) מתחת לאופק, ומשחרר כדור מגובה \( 6\ \mathrm{m} \). דנה צודקת: גודל מהירות הפגיעה זהה בשני המקרים.
חישוב וקטורי. ברגע השחרור: \( v_{0x}=3\cos\alpha \), \( v_{0y}=3\sin\alpha \) כלפי מטה. הרכיב האופקי לא משתנה. ברכיב האנכי:
$$ v_y^2=v_{0y}^2+2gh=9\sin^2\alpha+120 $$
$$ v^2=v_x^2+v_y^2=9\cos^2\alpha+9\sin^2\alpha+120=9+120=129 \quad\Rightarrow\quad v\approx11.4\ \mathrm{m/s} $$
שיקולי עבודה ואנרגיה. אחרי השחרור פועל רק כוח הכובד, והעבודה שלו תלויה רק בהפרש הגבהים, \( W=mgh \). לפי משפט עבודה-אנרגיה:
$$ \tfrac12mv^2=\tfrac12mv_0^2+mgh \quad\Rightarrow\quad v^2=v_0^2+2gh=9+120=129 $$
גודל מהירות השחרור וגובה השחרור זהים בשני המקרים, ולכן גם גודל מהירות הפגיעה. משתנים רק כיוון הפגיעה וזמן הנפילה.
בגרות 2023 · שאלה 3
רחפן משחרר כדורים
רחפן נע אופקית ומשחרר כדורים בזה אחר זה. נחשב את זמן הנפילה ואת מהירות הפגיעה, נמצא את המרחק בין נקודות הפגיעה, ונבין למה הכדורים נשארים תמיד מתחת לרחפן.
זריקה אופקיתפירוק לרכיביםנפילה חופשיתמהירות קבועה
שאלה: רחפן נע אופקית בגובה \(6\ \text{m}\) במהירות \(3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) ומשחרר שלושה כדורים בזה אחר זה, \(0.5\ \text{s}\) בין כדור לכדור. אין התנגדות אוויר. איך נע כדור אחרי השחרור?
1. לפני השחרור הכדור נע יחד עם הרחפן. ברגע השחרור יש לו אותה מהירות: \(3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) אופקית, ואפס אנכית.
2. אופקית אין כוח, ולכן המהירות האופקית נשארת קבועה: \(v_x=3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\).
3. אנכית פועל רק המשקל: נפילה חופשית ממנוחה, \(a=g=10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\). יחד, המסלול הוא פרבולה: זריקה אופקית.
שימו לב: שתי התנועות בלתי תלויות: מה שקורה אופקית לא משפיע על מה שקורה אנכית.
שאלה: כמה זמן עובר מרגע השחרור של כדור ועד שהוא פוגע בקרקע?
1. הזמן נקבע מהתנועה האנכית: נפילה חופשית ממנוחה מגובה \(h=6\ \text{m}\).
2. משתמשים במשוואת המקום בציר האנכי. הכיוון החיובי כלפי מטה, והראשית בנקודת השחרור. המהירות האנכית ההתחלתית אפס:\(y=y_0+v_{0y}\,t+\tfrac12g\,t^2\)\(6=0+0+\tfrac12\cdot10\cdot t^2\)
זמן הנפילה:\(t^2=\frac{2\cdot6}{10}=1.2\)\(t=\sqrt{1.2}\approx1.1\ \text{s}\)
שימו לב: המהירות האופקית לא משנה את זמן הנפילה. כדור שמשחררים מרחפן שעומד במקום ייפול באותו זמן.
שאלה: חשבו את מהירות הפגיעה של הכדור בקרקע: גודל וכיוון.
1. הרכיב האופקי. אין תאוצה אופקית, ולכן הוא לא משתנה:\(v_x=v_{0x}=3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
2. הרכיב האנכי. משתמשים בנוסחת המהירות בציר האנכי: מהירות התחלתית ועוד תאוצה כפול זמן:\(v_y=v_{0y}+g\,t\)\(v_y=0+10\cdot\sqrt{1.2}\approx10.95\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
גודל המהירות, לפי פיתגורס:\(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\)\(v=\sqrt{3^2+10.95^2}=\sqrt{129}\approx11.4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
כיוון: מתחת לאופק, קדימה. במחשבון: shift ואז tan:\(\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{10.95}{3}\approx3.65\)\(\theta=\tan^{-1}3.65\approx74.7^\circ\)
סעיף ג
המרחק בין נקודות הפגיעה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: מה המרחק בין נקודות הפגיעה בקרקע של שני כדורים ששוחררו זה אחר זה? פרטו שיקולים.
1. בין שני שחרורים עוברות 0.5 שניות. משתמשים במשוואת המקום בתנועה במהירות קבועה:\(\Delta x=v\cdot\Delta t\)\(\Delta x=3\cdot0.5=1.5\ \text{m}\)
המסלולים זהים ומוזזים זה מזה ב-1.5 m, ולכן:\(d=1.5\ \text{m}\)
שאלה: איזה מהאיורים 1–4 מתאר נכון את מיקומי הרחפן והכדורים רגע אחרי שחרור הכדור השלישי? נמקו.
1. לכל הכדורים ולרחפן אותה מהירות אופקית, \(3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). לכן הכדורים נשארים בדיוק מתחת לרחפן. איורים 2 ו-3 נפסלים: שם הכדורים מפגרים, כמו שהיה קורה עם התנגדות אוויר.
2. אנכית: משוואת המקום בנפילה חופשית ממנוחה. הכדור השני נופל חצי שנייה, והראשון שנייה:\(y=y_0+v_{0y}\,t+\tfrac12g\,t^2\)\(y_2=0+0+\tfrac12\cdot10\cdot0.5^2=1.25\ \text{m}\)\(y_1=0+0+\tfrac12\cdot10\cdot1^2=5\ \text{m}\)
איור 4: קו אנכי, והמרווחים גדלים, \(1.25\ \text{m}\) ואז \(3.75\ \text{m}\). באיור 1 המרווחים שווים: נפסל.
שימו לב: בהדגמה למטה: הכדורים נופלים כל הזמן מתחת לרחפן, ומאיצים כלפי מטה.
סעיף ה
מקרה שני: חישוב וקטורי
מההתחלההצג פתרון
שאלה: במקרה שני הרחפן נע באותה מהירות, \(3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\), אבל בזווית α מתחת לאופק, ומשחרר כדור מגובה \(6\ \text{m}\). יוסף טוען שמהירות הפגיעה גדולה יותר מבמקרה הראשון. דנה טוענת שהיא שווה. מי צודק?
1. ברגע השחרור לכדור יש את מהירות הרחפן. מפרקים לרכיבים:\(v_{0x}=v_0\cos\alpha,\quad v_{0y}=v_0\sin\alpha\)\(v_{0x}=3\cos\alpha,\quad v_{0y}=3\sin\alpha\)
2. אופקית אין כוח, ולכן הרכיב האופקי לא משתנה:\(v_x=v_{0x}=3\cos\alpha\)
3. אנכית: משתמשים בנוסחת המהירות בלי זמן. מהירות התחלתית כלפי מטה, לאורך 6 מטר:\(v_y^2=v_{0y}^2+2gh\)\(v_y^2=9\sin^2\alpha+2\cdot10\cdot6=9\sin^2\alpha+120\)
4. מחברים בפיתגורס, ומשתמשים בזהות של סינוס וקוסינוס:\(v^2=v_x^2+v_y^2\)\(v^2=9\cos^2\alpha+9\sin^2\alpha+120=9+120=129\)
אותה מהירות פגיעה כמו במקרה הראשון, \(v\approx11.4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). דנה צודקת.
סעיף ה
מקרה שני: שיקולי עבודה ואנרגיה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: אותה שאלה, בדרך קצרה: איזה כוח עושה עבודה על הכדור מרגע השחרור ועד הקרקע?
1. אחרי השחרור פועל על הכדור רק כוח הכובד. העבודה שלו תלויה רק בהפרש הגבהים, לא בכיוון התנועה:\(W_{mg}=mgh\)
2. משפט עבודה-אנרגיה, \(m\) מצטמצם:\(\tfrac12mv^2=\tfrac12mv_0^2+mgh\ \Rightarrow\ v^2=v_0^2+2gh\)
3. בשני המקרים המהירות ההתחלתית 3 מטר לשנייה והגובה 6 מטר:\(v^2=v_0^2+2gh\)\(v^2=3^2+2\cdot10\cdot6=129\)\(v\approx11.4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
דנה צודקת: גודל מהירות הפגיעה זהה. הכיוון של מהירות השחרור לא משנה את הגודל.
שימו לב: מה כן משתנה? כיוון הפגיעה, וזמן הנפילה, שקצר יותר כי הכדור יוצא כבר עם מהירות כלפי מטה.
סיכום
מה למדנו מהשאלה
זמן הנפילה\(t\approx1.1\ \text{s}\)
מהירות הפגיעה\(v\approx11.4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)
כיוון הפגיעה\(\theta\approx74.7^\circ\)
מרחק בין נקודות הפגיעה\(1.5\ \text{m}\)
מיקום הכדוריםאיור 4
רחפן בזוויתדנה צודקת
טעויות נפוצות
לחשוב שהמהירות האופקית מאריכה את הנפילה. הזמן נקבע רק מהגובה.
לחשוב שהכדורים מפגרים אחרי הרחפן. בלי התנגדות אוויר המהירות האופקית שלהם שווה לשל הרחפן.
לחשוב שזריקה כלפי מטה מגדילה את מהירות הפגיעה. כוח הכובד עושה אותה עבודה, והגודל נשאר זהה.
לחשב את מהירות הפגיעה רק מ-\(gt\). צריך לחבר גם את הרכיב האופקי.
→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←
