בניסוי בליסטי (כדור/עגלה הנע במהירות אופקית קבועה \( v_0 \) ונופל מגובה h עד לפגיעה בקרקע במרחק אופקי d מנקודת השחרור), נמדדו התוצאות הבאות לגבהים שונים:
h (m): 10, 20, 30, 40, 50
d (m): 21.2, 31.6, 38.1, 43.6, 47.4
סעיף א - זיהוי גרפים
לפניכם ארבעה גרפי מהירות-זמן: גרף א (קו יורד ליניארית מערך התחלתי גבוה ל-0), גרף ב (קו עולה ליניארית מ-0), גרף ג (קו אופקי - מהירות קבועה), גרף ד (עקומה עולה שמתמתנת/מתייצבת).
(1) המהירות האופקית של הגוף הנופל אינה מושפעת מהכבידה (הכוח פועל רק אנכית) - היא נשארת קבועה לאורך כל הנפילה. התשובה: גרף ג.
(2) המהירות האנכית נובעת מהתאוצה הקבועה של הכבידה, ומתחילה מאפס (בהנחה שאין מהירות אנכית התחלתית): \( v_y=gt \) - קשר ליניארי עולה מהראשית. התשובה: גרף ב.
(גרפים א ו-ד אינם מתארים אף אחד מהמקרים כאן - גרף א מתאר האטה ליניארית, גרף ד מתאר גידול שמתמתן, כמו מהירות סופנית.)
הקשר הפיזיקלי - למה d ו-h אינם ליניאריים
זמן הנפילה מגובה h הוא \( t=\sqrt{2h/g} \), והמרחק האופקי הוא \( d=v_0t \). לכן:
$$ d = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}} $$
קשר זה אינו ליניארי בין d ל-h (d תלוי בשורש של h) - גרף d כפונקציה של h הוא עקומה, לא קו ישר.
זהו קשר ליניארי בין \( d^2 \) ל-h, עם שיפוע \( \frac{2v_0^2}{g} \). מחשבים את \( d^2 \) לכל שורה בטבלה:
h (m): 10, 20, 30, 40, 50
d² (m²): 449.4, 998.6, 1451.6, 1901.0, 2246.8
קו מגמה ושיפוע
משרטטים את הנקודות \( (h, d^2) \), מעבירים קו מגמה יחיד המתייחס רק למדידות בפועל (לא מכריחים דרך הראשית). בודקים שהיחס \( d^2/h \) די קבוע בכל הנקודות (כ-45 לכולן) - זה מאשש שהמגמה אכן ליניארית וכמעט עוברת דרך הראשית. לוקחים שתי נקודות מרוחקות על קו המגמה, למשל תחילת הקו וסופו:
תלמיד זורק כדור אופקית מגבהים שונים ומודד כמה רחוק הוא נוחת. נמצא את הקשר בין המרחק לגובה, נהפוך אותו לקו ישר, ומהשיפוע נחשב את מהירות הזריקה.
זריקה אופקיתישור לינאריקו מגמהשיפוע
הנתונים
הניסוי
מההתחלההצג פתרון
שאלה: תלמיד זרק כדור קטן אופקית, באותה מהירות, כמה פעמים, כל פעם מגובה אחר. בכל פעם מדד את הגובה ואת המרחק האופקי לנקודת הפגיעה. מזניחים את התנגדות האוויר.
תוצאות הניסוי:
\(h\ (\text{m})\)
\(d\ (\text{m})\)
\(d^2\ (\text{m}^2)\)
\(10\)
\(21.2\)
\(449.4\)
\(20\)
\(31.6\)
\(998.6\)
\(30\)
\(38.1\)
\(1451.6\)
\(40\)
\(43.6\)
\(1901.0\)
\(50\)
\(47.4\)
\(2246.8\)
סעיף א
גרפי המהירות
מההתחלההצג פתרון
שאלה: איזה גרף מתאר את גודל המהירות האופקית? ואיזה את גודל המהירות האנכית?
1. אופקית לא פועל שום כוח, כי מזניחים את התנגדות האוויר. לכן המהירות האופקית קבועה.
(1) המהירות האופקית: גרף ג, קו אופקי.
2. אנכית פועל רק כוח הכובד, בתאוצה קבועה. הכדור נזרק אופקית, ולכן המהירות האנכית מתחילה מאפס:\(v_y=g\,t\)
(2) המהירות האנכית: גרף ב, קו ישר עולה מהראשית.
סעיף ב
ריבוע המרחק כפונקציה של הגובה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: בטאו את ריבוע המרחק האופקי כפונקציה של הגובה, של מהירות הזריקה ושל תאוצת הנפילה.
1. זמן הנפילה: משוואת המקום בציר האנכי. החיובי כלפי מטה, והראשית בנקודת הזריקה:\(y=y_0+v_{0y}\,t+\tfrac12g\,t^2\)\(h=0+0+\tfrac12g\,t^2\ \Rightarrow\ t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
2. המרחק האופקי: משוואת המקום בציר האופקי, במהירות קבועה:\(x=x_0+v_0\,t\)\(d=0+v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}\)
מעלים בריבוע:\(d^2=\frac{2v_0^2}{g}\,h\)
שימו לב: זה קשר קווי. אם נשרטט את ריבוע המרחק כפונקציה של הגובה, נקבל קו ישר.
שאלה: שרטטו דיאגרמת פיזור של ריבוע המרחק כפונקציה של הגובה, והוסיפו את הקו הישר שמתאים לה ביותר.
1. הגובה על הציר האופקי, ריבוע המרחק על הציר האנכי.
2. מסמנים את חמש הנקודות מהטבלה.
3. מעבירים קו ישר אחד, קרוב ככל האפשר לכל הנקודות. לא מחברים נקודה לנקודה.
הנקודות מסודרות כמעט על קו ישר, כמו שציפינו מסעיף ב.
סעיף ד
השיפוע של קו המגמה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: היעזרו בשיפוע של הקו ששרטטתם, וחשבו את מהירות הזריקה.
1. בוחרים שתי נקודות רחוקות על הקו, לא מהטבלה. כדי לקרוא אותן מדויק, בוחרים מקומות שבהם הקו עובר בדיוק בערכים עגולים של הרשת:\((10,\ 500),\quad (50,\ 2300)\)
