בגרות – שני כדורים מבניין

כדור A נזרק כלפי מעלה ממרגלות בניין שגובהו \( H=300\ \mathrm{m} \), במהירות \( v_{0A}=40\ \mathrm{m/s} \). באותו הרגע נזרק כדור B מגג הבניין כלפי מטה, במהירות \( v_{0B}=20\ \mathrm{m/s} \). הכדורים חולפים זה ליד זה ואינם מתנגשים. מגדירים ציר \( y \) שראשיתו \( O \) בגובה הקרקע, וכיוונו החיובי כלפי מעלה. משתמשים ב-\( g=10\ \mathrm{m/s^2} \).

בחירת הציר: מכיוון שהשאלה שואלת שוב ושוב על גבהים מעל הקרקע (הגובה המרבי, האם הכדורים באותו גובה וכו'), נוח במיוחד להציב את ראשית הציר בגובה הקרקע עצמה - כך שערך \( y \) בכל רגע מבטא ישירות את הגובה מעל הקרקע, בלי צורך בהמרה נוספת.

מיקומו של כל כדור, כפונקציה של הזמן, נתון על ידי הנוסחה הכללית \( y(t) = y_0 + v_0 t - \tfrac12 g t^2 \). לאורך הפתרון, משוואות כדור A יופיעו בצבע כחול, ומשוואות כדור B בצבע כתום. עבור כל כדור בנפרד:

$$ \color[RGB]{31,111,178}{y_A(t) = 0 + 40t - \tfrac12\times10\times t^2} $$

$$ \color[RGB]{232,130,58}{y_B(t) = 300 - 20t - \tfrac12\times10\times t^2} $$

א. הגובה המרבי של כדור A

בנקודת הגובה המרבי, מהירות כדור A מתאפסת. משתמשים בנוסחת המהירות:

$$ \color[RGB]{31,111,178}{v_A(t) = v_{0A} - gt = 40-10t} $$

משווים לאפס ופותרים עבור \( t \):

$$ 0 = 40-10t \quad\Rightarrow\quad t=4\ \mathrm{s} $$

מציבים את הזמן הזה במשוואת המיקום של כדור A שהוגדרה למעלה:

$$ \color[RGB]{31,111,178}{y_A(4) = 40\times4-\tfrac12\times10\times4^2 = 160-80 = 80\ \mathrm{m}} $$

ב. זמן פגיעת כדור A בקרקע

כדור A מגיע לקרקע כאשר \( y_A(t)=0 \). מציבים במשוואת המיקום שהוגדרה למעלה:

$$ \color[RGB]{31,111,178}{0 = 40t-5t^2} $$

מוציאים \( t \) כגורם משותף:

$$ 0 = t(40-5t) $$

הפתרון \( t=0 \) הוא רגע הזריקה עצמו; הפתרון השני הוא רגע הפגיעה בקרקע:

$$ 40-5t=0 \quad\Rightarrow\quad t=8\ \mathrm{s} $$

ג. הרגע שבו הכדורים באותו גובה

משווים בין שתי משוואות המיקום שהוגדרו למעלה:

$$ \color[RGB]{31,111,178}{40t-5t^2} = \color[RGB]{232,130,58}{300-20t-5t^2} $$

האיברים הריבועיים זהים משני הצדדים ומצטמצמים:

$$ 40t = 300-20t $$

$$ 60t = 300 \quad\Rightarrow\quad t=5\ \mathrm{s} $$

(בגובה \( y=75\ \mathrm{m} \) מעל הקרקע.)

ד. גרף המרחק בין הכדורים כפונקציה של הזמן

המרחק בין הכדורים הוא \( \Delta y(t) = y_B(t)-y_A(t) \), לפי שתי המשוואות שהוגדרו למעלה. שימו לב שהאיברים הריבועיים (\( -5t^2 \)) מבוטלים משני הצדדים, כי לשני הכדורים אותה תאוצה:

$$ \Delta y(t) = \color[RGB]{232,130,58}{(300-20t-5t^2)}-\color[RGB]{31,111,178}{(40t-5t^2)} = 300-60t $$

זהו קו ישר יורד: מתחיל ב-\( 300\ \mathrm{m} \) בזמן \( t=0 \), ומגיע ל-0 בזמן \( t=5\ \mathrm{s} \) - בדיוק הרגע שמצאנו בסעיף ג'. השיפוע \( -60\ \mathrm{m/s} \) הוא המהירות היחסית הקבועה שבה הכדורים מתקרבים זה לזה (\( v_{0A}+v_{0B}=40+20=60\ \mathrm{m/s} \)).