בגרות – מדרון וחיישן תנועה

פתרון: בגרות קיץ תשע"ט 2019, מכניקה (שאלון 036361+נספח), שאלה 2

גוף \( m_1 = 0.5\ \mathrm{kg} \) על מישור חלק בזווית \( \alpha = 30^\circ \), קשור בחוט דרך גלגלת לגוף תלוי \( m_2 \). הכיוון החיובי של \( m_2 \) הוא כלפי מטה, והכיוון החיובי של \( m_1 \) הוא במעלה המישור.

א. גרף המהירות כפונקציה של הזמן

משרטטים את שש הנקודות מהטבלה. הנקודות מסודרות בקירוב על קו ישר, ולכן מעבירים קו מגמה ישר (ראו הגרף למטה). הקו עובר בקירוב בראשית, כי הגוף התחיל ממנוחה ב-\( t = 0 \).

ב. שיפוע הגרף ומשמעותו

שתי נקודות על קו המגמה: \( (0.1,\ 0.375) \) ו-\( (0.5,\ 1.875) \).

$$ \text{slope} = \frac{1.875 - 0.375}{0.5 - 0.1} = \frac{1.5}{0.4} = 3.75\ \mathrm{m/s^2} $$

שיפוע של גרף מהירות-זמן הוא התאוצה. הגרף ישר, ולכן התאוצה של \( m_1 \) קבועה: \( a = 3.75\ \mathrm{m/s^2} \).

ג. משוואות הכוחות

משוואות \( m_1 \) בצבע כחול, ומשוואות \( m_2 \) בצבע כתום.

על \( m_1 \) פועלים: המשקל, הכוח הנורמלי, ומתיחות החוט T במעלה המישור. לאורך המישור:

$$ {\color[RGB]{31,111,178}{T - m_1 g \sin\alpha = m_1 a}} $$

בניצב למישור:

$$ {\color[RGB]{31,111,178}{N = m_1 g \cos\alpha}} $$

על \( m_2 \) פועלים המשקל כלפי מטה ומתיחות החוט כלפי מעלה:

$$ {\color[RGB]{232,130,58}{m_2 g - T = m_2 a}} $$

ד. מתיחות החוט

מהמשוואה של \( m_1 \):

$$ T = m_1 (a + g \sin\alpha) = 0.5 \cdot (3.75 + 10 \cdot 0.5) = 0.5 \cdot 8.75 \approx 4.4\ \mathrm{N} $$

(אפשר גם למצוא מהמשוואה של \( m_2 \) את המסה שלו: \( m_2 = T/(g - a) = 4.375/6.25 = 0.7\ \mathrm{kg} \).)

ה. היחס בין התאוצות אחרי קריעת החוט

אחרי שהחוט נקרע אין מתיחות.

הגוף \( m_1 \) נשאר רק עם רכיב המשקל במורד המישור, כלומר נגד הכיוון החיובי:

$$ a_1 = -g \sin\alpha = -10 \cdot 0.5 = -5\ \mathrm{m/s^2} $$

הגוף \( m_2 \) נופל נפילה חופשית, בכיוון החיובי (מטה):

$$ a_2 = g = 10\ \mathrm{m/s^2} $$

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2} $$

גודל התאוצה של \( m_1 \) הוא חצי מזה של \( m_2 \), והסימן השלילי מראה ש-\( m_1 \) מאט, בניגוד לכיוון החיובי שלו.

ו. איזה גרף נכון

גרף 3.

• ברגע הקריעה לשני הגופים אותה מהירות (הם היו קשורים בחוט), ולכן שני הקווים יוצאים מאותה נקודה. זה פוסל את גרף 2.
• אחרי הקריעה \( m_2 \) מאיץ (שיפוע חיובי) ו-\( m_1 \) מאט (שיפוע שלילי), עוצר וחוזר במורד המישור, כך שהמהירות שלו עוברת לערכים שליליים. זה פוסל את גרף 1, שבו שני הגופים מאיצים.
• לפי סעיף ה, גודל השיפוע של \( m_1 \) הוא חצי מגודל השיפוע של \( m_2 \). בגרף 3 הקו של \( m_1 \) יורד בשיפוע מתון, חצי מהשיפוע של \( m_2 \). בגרף 4 שני השיפועים שווים בגודלם, ולכן הוא לא נכון.

השיפוע של קו המגמה הוא התאוצה: a ≈ 3.75 m/s². הקו עובר בראשית כי הגוף התחיל ממנוחה.