מרכיבים לגודל וכיוון

בתהליך

לכל וקטור ניתן לכתוב רכיב אופקי ורכיב אנכי. סכום הווקטורים האלו נותן את הווקטור המקורי:

$$ \vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y $$

כאשר:

$$ \vec{v}_x = (v_x, 0) \quad , \quad \vec{v}_y = (0, v_y) $$

גודל הווקטור הוא:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

והכיוון (הזווית ביחס לציר ה-x):

$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) $$

גררו את קצה הרכיב Vx (אדום) או את קצה הרכיב Vy (ירוק) - הווקטור הכחול (הסכום שלהם) יתעדכן אוטומטית.

וקטורים

מרכיבים לגודל וכיוון

יודעים כמה הווקטור הולך ימינה וכמה למעלה. איך מוצאים כמה הוא ארוך, ולאן הוא מצביע? פיתגורס, טנגנס, ומלכודת אחת של המחשבון.

גודלכיווןפיתגורסtan⁻¹רבעים

פתיחה

כמה רחוק, ולאיזה כיוון?

מההתחלההצג פתרון

שאלה: הלכתי 3 km מזרחה ו-4 km צפונה. כמה רחוק אני מההתחלה, ובאיזה כיוון?

1. הגודל: הרכיבים הם הניצבים, והווקטור הוא היתר. לפי פיתגורס:$V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \text{km}$

2. הכיוון: הטנגנס של הזווית הוא הניצב שמול חלקי הניצב הצמוד:$\tan\theta=\frac{V_y}{V_x}=\frac{4}{3}$

הזווית: הופכים את הטנגנס במחשבון (shift tan):$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\approx53^\circ$

שימו לב: התשובה המלאה: 5 km בזווית $53^\circ$ צפונית למזרח.

משחק

נסו בעצמכם

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גררו את הווקטור לכל רבע. מתי התשובה של המחשבון שונה מהזווית האמיתית?

1. הגודל תמיד יוצא חיובי, בכל רבע:$V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}$

2. השורה האחרונה בתיבה מראה מה המחשבון נותן ל-$\tan^{-1}\tfrac{V_y}{V_x}$. כשהיא באדום, היא לא הזווית האמיתית.

שימו לב: ברבע הראשון המחשבון צודק. ברבעים השני והשלישי ($V_x\lt 0$) צריך להוסיף $180^\circ$.

גררו את העיגול

סיכום

מרכיבים לגודל וכיוון

גודל$V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}$

כיוון$\theta=\tan^{-1}\frac{V_y}{V_x}$

אם $V_x\lt 0$מוסיפים $180^\circ$

חיבור וקטוריםמפרקים, מחברים רכיבים, חוזרים

טעויות נפוצות

מחברים גדלים במקום רכיבים: מחברים $x$ עם $x$ ו-$y$ עם $y$, ורק בסוף מחשבים גודל.

סומכים על המחשבון: תמיד משרטטים קודם ובודקים באיזה רבע הווקטור.

מאיזה ציר הזווית? $\tan^{-1}\tfrac{V_y}{V_x}$ נותן את הזווית מציר x.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←