2 – גוף על מישור משופע עם חיכוך

בגרות 2025 - שאלה 2

קישור לשאלה: מבחן 2025

גוף קטן במסה m נמצא על מישור משופע שזוויתו α ניתנת לשינוי. מקדם החיכוך הסטטי בין הגוף למישור הוא μs, ומקדם החיכוך הקינטי הוא μk. נתון: μk=0.24, h=0.30 m (גובה המישור המשופע), α3=22°.

סעיף א - דיאגרמת כוחות

שלושה כוחות פועלים על הגוף: המשקל mg (כלפי מטה, מופעל ע"י כדור הארץ), הכוח הנורמלי N (מאונך למישור, מופעל ע"י המישור המשופע), וכוח החיכוך הסטטי f (במקביל למישור, כלפי מעלה על פני המישור, מופעל ע"י המישור - מונע מהגוף להחליק כלפי מטה).

סעיף ב - שינוי בכוח החיכוך

כאשר מקטינים את הזווית ל-α1<α0 (הגוף עדיין במנוחה), מרכיב המשקל לאורך המישור קטן:

$$ f = mg\sin(\alpha) $$

מכיוון שהגוף עדיין נייח, כוח החיכוך (הסטטי, שהוא כוח תגובה המתאים עצמו לשיווי משקל) שווה תמיד למרכיב הזה. לכן כשהזווית קטנה, כוח החיכוך קטן.

סעיף ג - זווית סף התנועה

(1) שיווי משקל בסף התנועה (חיכוך סטטי מקסימלי):

$$ N = mg\cos(\alpha_2) $$

$$ mg\sin(\alpha_2) = \mu_s N $$

(2) חילוץ הזווית:

$$ mg\sin(\alpha_2) = \mu_s \cdot mg\cos(\alpha_2) \implies \tan(\alpha_2) = \mu_s \implies \alpha_2 = \arctan(\mu_s) $$

סעיף ד - מהירות בתחתית המישור

בזווית α3=22° הגוף נע (מעל סף התנועה), עם חיכוך קינטי. בשיטת שימור אנרגיה, מנקודת ההתחלה (במנוחה, בגובה h) עד תחתית המישור:

$$ mgh - \mu_k mg\cos(\alpha_3)\cdot\frac{h}{\sin(\alpha_3)} = \frac{1}{2}mv^2 $$

$$ v = \sqrt{2gh\left(1-\frac{\mu_k}{\tan(\alpha_3)}\right)} $$

הצבת נתונים (g=10, h=0.30, μk=0.24, tan(22°)≈0.404):

$$ v = \sqrt{2\cdot10\cdot0.30\left(1-\frac{0.24}{0.404}\right)} \approx \sqrt{2.44} \approx 1.56\ m/s $$

סעיף ה - זיהוי הגרף הנכון

בתנועה כלפי מעלה, גם מרכיב המשקל וגם החיכוך (המתנגד לתנועה כלפי מעלה) פועלים כלפי מטה לאורך המישור - שניהם מאיטים את הגוף:

$$ a_u = g(\sin(\alpha)+\mu_k\cos(\alpha)) $$

בתנועה כלפי מטה (אחרי שהמהירות מתאפסת), החיכוך מתהפך (מתנגד כעת לתנועה כלפי מטה), בעוד מרכיב המשקל נשאר כלפי מטה:

$$ a_d = g(\sin(\alpha)-\mu_k\cos(\alpha)) $$

לכן au>ad, שניהם קבועים (לא תלויים בזמן) בכל שלב בנפרד, והגרף הנכון מראה שתי רמות קבועות (מדרגה) - רמה גבוהה יותר (au) בזמן העלייה, ואז ירידה חדה לרמה נמוכה יותר וקבועה (ad) ברגע שהמהירות מתאפסת והגוף מתחיל לרדת. יש לבחור את הדיאגרמה (מבין 1-3) שמראה תבנית מדרגה כזו, ולא עקומה רציפה או שיפוע משתנה.