בגרות – קווי שווי פוטנציאל וכמה מטענים

מוצגת מערכת ובה שני מטענים נקודתיים חיוביים, \( Q \) ו-\( q \), הממוקמים לאורך הציר \( y \) האנכי, כל אחד במרחק \( d \) מראשית הצירים \( O \). נתון \( Q=6\times10^{-10}\ \mathrm{C} \), \( d=6\ \mathrm{cm}=0.06\ \mathrm{m} \). רמת האפס של הפוטנציאל נבחרה באין-סוף.

א. השדה החשמלי השקול בראשית הצירים O

שני המטענים במרחק שווה \( d \) מ-\( O \), משני צדדיו לאורך ציר \( y \). מכיוון ששניהם חיוביים, השדה שכל אחד יוצר ב-\( O \) מכוון מהמטען כלפי \( O \) והלאה, ושני התרומות מתחברות באותו כיוון (בניצב לציר \( y \), כלפי מטה):

$$ E_O = \frac{k(Q+q)}{d^2} $$

כיוון השדה: בכיוון השלילי של ציר \( y \) (כלפי מטה).

ב. האם קיימת נקודה שבה הפוטנציאל אפס

אין נקודה סופית במרחב שבה הפוטנציאל הוא אפס (למעט באין-סוף). שני המטענים חיוביים, וכל אחד מהם יוצר פוטנציאל חיובי בכל נקודה במרחב - ולכן הפוטנציאל הכולל בכל נקודה סופית הוא סכום של שני ערכים חיוביים, שאינו יכול להתאפס.

ג. גודל המטען q

משתמשים בנקודה שבגרף שקואורדינטתה \( (8\ \mathrm{cm},\ 0) \), שבה הפוטנציאל הוא \( 72\ \mathrm{V} \). מרחקה מכל אחד מהמטענים (לפי משפט פיתגורס, \( \sqrt{d^2+8^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm} \)) הוא \( 0.1\ \mathrm{m} \):

$$ \frac{kq}{0.1} + \frac{kQ}{0.1} = 72\ \mathrm{V} $$

מציבים \( Q=6\times10^{-10}\ \mathrm{C} \) ופותרים:

$$ q = 2\times10^{-10}\ \mathrm{C} $$

ד. מהירות הפוזיטרון בנקודה B

פוזיטרון (מטען \( q_e=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C} \), מסה \( m_e=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg} \)) משתחרר מנקודה \( O \) במהירות \( v_O=5.2\times10^6\ \mathrm{m/s} \), וחולף בהמשך דרך נקודה \( B \) שעל קו שווה-פוטנציאל שערכו \( 72\ \mathrm{V} \). מחשבים תחילה את הפוטנציאל בנקודה \( O \):

$$ V_O = \frac{k(Q+q)}{d} = \frac{9\times10^9\times8\times10^{-10}}{0.06} = 120\ \mathrm{V} $$

לפי שימור אנרגיה (קינטית + פוטנציאלית חשמלית):

$$ \tfrac12 m_e v_O^2 + q_e V_O = \tfrac12 m_e v_B^2 + q_e V_B $$

$$ v_B^2 = v_O^2 + \frac{2q_e}{m_e}(V_O-V_B) = (5.2\times10^6)^2 + \frac{2\times1.6\times10^{-19}}{9.11\times10^{-31}}\times(120-72) $$

$$ v_B \approx 6.63\times10^6\ \mathrm{m/s} $$

ה. כיוון תאוצת הפוזיטרון בנקודה B

כיוון השדה החשמלי הוא במורד הפוטנציאל, בניצב למשטחים שווי-הפוטנציאל - הכיוון המתאים לכך בתרשים הוא כיוון 2. הפוזיטרון הוא מטען חיובי, ולכן כיוון הכוח החשמלי הפועל עליו (ולפי החוק השני של ניוטון, גם כיוון תאוצתו) הוא כיוון השדה החשמלי עצמו - כלומר כיוון 2.