שימור אנרגיה עם פוטנציאל חשמלי

פוטנציאל ואנרגיה של מטען נקודתי - תזכורת

מטען נקודתי \( Q \) יוצר סביבו פוטנציאל התלוי במרחק \( r \) ממנו:

$$ \varphi(r) = k\frac{Q}{r} $$

אם \( Q \) חיובי - הפוטנציאל שיוצר חיובי; אם \( Q \) שלילי - הפוטנציאל שלילי. אם מטען אחר \( q \) נמצא באותו פוטנציאל, האנרגיה החשמלית שלו:

$$ U = q\varphi = k\frac{Qq}{r} $$

למה שיקולי אנרגיה ולא שיקולי כוחות

בתרגילים הבאים, שני מטענים משפיעים זה על זה, וכתוצאה מכך הכוח ביניהם (ולכן גם התאוצה) משתנה כל הזמן עם המרחק. מכיוון שהתאוצה אינה קבועה, אי אפשר להשתמש במשוואות הקינמטיקה הרגילות כדי למצוא מהירות - ולכן גם אי אפשר למצוא זמן בדרך זו. לעומת זאת, שימור אנרגיה עובד תמיד, גם כשהתאוצה משתנה: סך כל האנרגיות (חשמלית + קינטית) במצב ההתחלתי שווה לסך כל האנרגיות במצב הסופי.

מקרה א: משיכה (מטענים הפוכים בסימנם)

מטען \( Q \) שלילי, קבוע במקומו. מטען \( q \) חיובי, חופשי לנוע, משוחרר במנוחה במרחק \( R \) מ-\( Q \) (\( R \) - המרחק ההתחלתי הקבוע; \( r \) - המיקום המשתנה במהלך התנועה). הפוטנציאל שיוצר \( Q \) שלילי, ולכן גרף \( \varphi(r) \) הוא פונקציה עולה (משלילי, שואפת לאפס ככל ש-\( r \) גדל) - כלומר ככל שמתרחקים, האנרגיה גדלה.

מטען שמשתחרר תמיד "רוצה" לרדת לאנרגיה נמוכה יותר - ולכן \( q \) יתקרב אל \( Q \) באופן טבעי (מתאים גם לשיקולי כוחות: המטענים מושכים זה את זה).

דוגמה 1: מהירות במרחק חדש

המטען משוחרר במנוחה במרחק \( R \), ומתקרב עד למרחק \( R/3 \). שימור אנרגיה:

$$ k\frac{Qq}{R} + 0 = k\frac{Qq}{R/3} + \tfrac12 m v^2 $$

(אנרגיה חשמלית + קינטית בהתחלה = אנרגיה חשמלית + קינטית בסוף). משוואה אחת עם נעלם אחד (\( v \)) - פותרים ומוצאים את המהירות במרחק \( R/3 \).

דוגמה 2: מהירות מילוט

איזו מהירות התחלתית \( v_0 \) (לכיוון ההפוך - מתרחקים) צריך לתת ל-\( q \) כדי שיגיע עד אינסוף, בדיוק במהירות אפס (ה"מהירות המינימלית לברוח")? באינסוף \( \varphi=0 \) ולכן גם \( U=0 \), וגם \( v=0 \) נתון - כך שכל האנרגיה בסוף היא אפס:

$$ k\frac{Qq}{R} + \tfrac12 m v_0^2 = 0 $$

שוב משוואה אחת עם נעלם אחד (\( v_0 \)).

מקרה ב: דחייה (מטענים באותו סימן)

אם \( Q \) חיובי (ולא שלילי), שני המטענים דוחים זה את זה. הפוטנציאל שיוצר \( Q \) חיובי, ולכן גרף \( \varphi(r) \) הפוך: פונקציה יורדת (מחיובי, שואפת לאפס ככל ש-\( r \) גדל) - ככל שמתרחקים, האנרגיה קטנה. מטען משוחרר "רוצה" אנרגיה נמוכה יותר - ולכן \( q \) יתרחק באופן טבעי מ-\( Q \) (מתאים לדחייה).

דוגמה 3: מהירות מקסימלית

המטען משוחרר במנוחה במרחק \( R \), ומתרחק והולך. המהירות המקסימלית מתקבלת באינסוף (שם האנרגיה החשמלית מתאפסת - כל האנרגיה ההתחלתית הפכה לקינטית):

$$ k\frac{Qq}{R} + 0 = 0 + \tfrac12 m v_{max}^2 $$

דוגמה 4: ירייה פנימה עד עצירה במרחק מסוים

באופן טבעי \( q \) מתרחק - כדי לקרב אותו צריך לירות אותו פנימה, נגד הדחייה, במהירות התחלתית \( v_0 \). שואלים: איזו \( v_0 \) צריך כדי שיגיע בדיוק למרחק \( R/3 \) ויעצור שם רגעית (ואז יחזור חזרה החוצה)?

$$ k\frac{Qq}{R} + \tfrac12 m v_0^2 = k\frac{Qq}{R/3} + 0 $$

גם כאן משוואה אחת, נעלם אחד (\( v_0 \)) - כי המהירות בנקודת העצירה הרגעית היא אפס.