בגרות – חרוז על מוט

מוט דק וחלק, עשוי מחומר מבודד, מוחזק לאורך ציר \( y \). מטען חשמלי חיובי \( Q \) מוחזק בראשית הצירים. משחילים על המוט חרוז קטן בעל מטען חיובי \( q \) ומסה \( m \), ומביאים אותו לנקודה שקואורדינטתה \( y_0 \). לאחר שמרפים מהחרוז, הוא נשאר במנוחה.

א. תרשים הכוחות על החרוז

על החרוז פועלים שני כוחות: המשקל \( mg \), כלפי מטה, והכוח החשמלי \( F_e \), כלפי מעלה (דחייה בין שני מטענים חיוביים). מכיוון ששני הכוחות פועלים לאורך המוט עצמו (כיוון \( y \)), כוח הנורמל מהמוט על החרוז שווה לאפס.

ב. ביטוי עבור y₀

מצב שיווי המשקל: הכוח החשמלי (הדוחה) שווה בגודלו למשקל:

$$ k\frac{Qq}{y_0^2}=mg $$

מבודדים את \( y_0 \):

$$ y_0=\sqrt{\frac{kQq}{mg}} $$

ג. האנרגיה הכוללת של המערכת בנקודה x₀

מחזיקים את המוט כעת לאורך ציר \( x \) האופקי, כאשר \( Q \) נשאר בראשית הצירים. לחרוז מוענקת מהירות התחלתית שמאלה (לכיוון \( Q \)), וכאשר הוא עובר בנקודה שקואורדינטתה \( x_0 \), גודל מהירותו הוא \( v \).

מכיוון שהאנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית לאורך ציר \( x \) הוגדרה כאפס, האנרגיה הכוללת של המערכת באותו רגע היא סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית החשמלית:

$$ E_{total}=\tfrac12mv^2+k\frac{Qq}{x_0} $$

ד. המרחק המינימלי x_min מהמטען Q

בנקודת המרחק המינימלי מ-\( Q \), מהירות החרוז מתאפסת לרגע (נקודת חזרה). לפי שימור האנרגיה, האנרגיה הכוללת בנקודה \( x_0 \) שווה לאנרגיה הכוללת בנקודה \( x_{min} \) (שם כל האנרגיה חשמלית, ללא אנרגיה קינטית):

$$ \tfrac12mv^2+k\frac{Qq}{x_0}=k\frac{Qq}{x_{min}} $$

מבודדים את \( x_{min} \):

$$ x_{min}=\frac{kQq}{\tfrac12mv^2+\dfrac{kQq}{x_0}} $$

ה. שינוי גודל המהירות וגודל התאוצה בדרך מ-x₀ ל-x_min

גודל המהירות קטן והולך: ככל שהחרוז מתקרב ל-\( Q \), הכוח החשמלי הדוחה מבצע עליו עבודה שלילית (הכוח מנוגד לכיוון התנועה), ולכן מהירותו הולכת וקטנה עד שהיא מתאפסת ב-\( x_{min} \).

גודל התאוצה גדל והולך: גודל הכוח החשמלי \( F=kQq/x^2 \) גדל ככל ש-\( x \) קטן (החרוז מתקרב ל-\( Q \)), ולכן גם גודל התאוצה \( a=F/m \) גדל בהתאם, לאורך כל הדרך מ-\( x_0 \) ל-\( x_{min} \).