חישוב שדה ופוטנציאל במרחב
חישוב שדה ופוטנציאל במרחב - ספירה טעונה
עבור ספירה טעונה בצפיפות נפחית אחידה \( \rho \), נחשב את השדה והפוטנציאל בכל אזורי המרחב - הן בתוך הספירה והן מחוצה לה - באמצעות חוק גאוס.
שלב 1 - השדה מחוץ לספירה (r > R)
מחוץ לספירה, כל המטען \( Q=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 \) "נראה" כמרוכז במרכז (בזכות הסימטריה הכדורית). לפי חוק גאוס עם מעטפת כדורית ברדיוס r:
$$ E(r) = k\frac{Q}{r^2} \quad , \quad r > R $$
שלב 2 - השדה בתוך הספירה (r < R)
בתוך הספירה, מעטפת גאוס ברדיוס r (קטן מ-R) מכילה רק חלק מהמטען הכולל - יחסי לנפח שהיא תוחמת:
$$ Q_{enclosed} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q\left(\frac{r}{R}\right)^3 $$
הצבה בחוק גאוס נותנת:
$$ E(r) = k\frac{Q}{R^3}r \quad , \quad r < R $$
שימו לב: השדה בתוך הספירה גדל ליניארית עם r (בניגוד ל-\( 1/r^2 \) מחוצה לה) - זהו הבדל אופייני בין המצב הפנימי לחיצוני בגופים טעונים בנפח.
שלב 3 - הפוטנציאל מחוץ לספירה (r > R)
מכיוון שמחוץ לספירה השדה זהה לזה של מטען נקודתי, גם הפוטנציאל זהה:
$$ V(r) = k\frac{Q}{r} \quad , \quad r > R $$
שלב 4 - הפוטנציאל בתוך הספירה (r < R)
מציאת הפוטנציאל בפנים דורשת אינטגרציה של השדה הפנימי, החל מפני הספירה (\( r=R \), שם \( V(R)=k\frac{Q}{R} \) מרציפות) ופנימה:
$$ V(r) = \frac{kQ}{2R^3}(3R^2-r^2) \quad , \quad r < R $$
נקודת מפתח - שיטת הפתרון הכללית
- זהו את הסימטריה של הבעיה, ובחרו מעטפת גאוס מתאימה (כדורית, במקרה זה).
- חשבו את המטען הכלוא במעטפת בכל אזור בנפרד (מלא מחוץ לגוף, יחסי בפנים).
- מצאו את השדה בכל אזור מחוק גאוס.
- אינטגרו את השדה (מרחוק פנימה) כדי למצוא את הפוטנציאל בכל אזור, תוך הקפדה על רציפות בגבולות בין האזורים.