בגרות – קווי שווי פוטנציאל של כדור טעון

כדור מוליך טעון, רדיוסו \( R=20\ \mathrm{mm}=0.02\ \mathrm{m} \), והפוטנציאל על פניו \( 8000\ \mathrm{V} \). בתרשים מוצגים מספר קווים שווי-פוטנציאל סביב הכדור (בין \( 1700\ \mathrm{V} \) ל-\( 8000\ \mathrm{V} \)). רמת האפס של הפוטנציאל נבחרה באין-סוף.

א. סימן וגודל המטען על הכדור

(1) הפוטנציאל הנתון על פני הכדור חיובי (\( +8000\ \mathrm{V} \)). מטען חיובי יוצר סביבו פוטנציאל חיובי - ולכן המטען על הכדור הוא חיובי.

(2) משתמשים בנוסחת הפוטנציאל על פני כדור טעון, \( V=kQ/R \), ומבודדים את \( Q \):

$$ Q = \frac{V\cdot R}{k} = \frac{8000\times0.02}{9\times10^9} \approx 1.78\times10^{-8}\ \mathrm{C} $$

ב. עבודת השדה החשמלי בהעברת מטען מ-A ל-C (דרך B)

נקודות A ו-B נמצאות על אותו קו שווה-פוטנציאל (\( 6000\ \mathrm{V} \)) - לכן העברת המטען מ-A ל-B אינה דורשת עבודה כלל (\( W_{A\to B}=0 \), אין הפרש פוטנציאלים). מכיוון שהשדה החשמלי הוא שדה משמר, עבודת המסע דרך B שווה לעבודת המסע הישיר:

$$ W_{A\to C} = W_{A\to B} + W_{B\to C} = 0 + W_{B\to C} $$

נקודה C נמצאת על קו \( 3000\ \mathrm{V} \). מטען החלקיק \( q=8.0\times10^{-9}\ \mathrm{C} \):

$$ W_{A\to C} = q(V_B - V_C) = 8.0\times10^{-9}\times(6000-3000) = 2.4\times10^{-5}\ \mathrm{J} $$

ג. בין קווי 1700V ל-1800V - שדה בקירוב אחיד

קרוב לשני קווי שווה-פוטנציאל צפופים, אפשר להתייחס לשדה שביניהם כקבוע.

(1) עבודת השדה בהעברת מטען \( q'=1.0\times10^{-9}\ \mathrm{C} \) מהנקודה שעל הקו \( 1700\ \mathrm{V} \) לנקודה שעל הקו \( 1800\ \mathrm{V} \):

$$ W = q'(V_{1700}-V_{1800}) = 1.0\times10^{-9}\times(1700-1800) = -1.0\times10^{-7}\ \mathrm{J} $$

העבודה שלילית - החלקיק החיובי "מטפס" בניגוד לכיוון השדה, לכיוון פוטנציאל גבוה יותר.

(2)-(3) מוצאים תחילה את המרחקים המדויקים של שני הקווים ממרכז הכדור, לפי \( r=kQ/V \):

$$ r_{1700} = \frac{kQ}{1700} \approx 0.094\ \mathrm{m}, \qquad r_{1800} = \frac{kQ}{1800} \approx 0.089\ \mathrm{m} $$

המרחק ביניהם: \( d = r_{1700}-r_{1800} \approx 0.0052\ \mathrm{m} \). עוצמת השדה בתחום זה:

$$ E = \frac{\Delta V}{d} = \frac{100}{0.0052} \approx 19{,}230\ \mathrm{N/C} $$

גודל הכוח החשמלי הפועל על החלקיק \( q' \) בתחום זה:

$$ F = q'E = 1.0\times10^{-9}\times19{,}230 \approx 1.92\times10^{-5}\ \mathrm{N} $$

ד. הפוטנציאל במרכז הכדור P

התשובה הנכונה: \( 8000\ \mathrm{V} \).

בתוך מוליך במצב אלקטרוסטטי (כולל כדור מוליך מלא) השדה החשמלי הוא אפס. מכיוון שאין שדה, אין שינוי בפוטנציאל בין פני הכדור למרכזו - הפוטנציאל בתוך הכדור קבוע ושווה בדיוק לפוטנציאל על פניו.