חוק גאוס
חוק גאוס
לפי חוק גאוס, השטף החשמלי העובר דרך מעטפת סגורה שווה לסכום המטענים הכלואים במעטפת. נרשום את נוסחת החוק כך:
$$ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0} $$
חשוב לשים לב לכך שהשדה הוא הנעלם אותו אנחנו מחפשים, ומכיוון שפרמטר זה נמצא בתוך אינטגרל לא נוכל לבודד אותו ללא הוצאתו מחוץ לאינטגרל - זה אפשרי רק כאשר בוחרים מעטפת גאוס בעלת סימטריה מתאימה, כזו שעליה השדה קבוע בגודלו ומקביל לוקטור השטח בכל נקודה.
למה משתמשים בחוק גאוס?
בעזרת חוק גאוס נחשב בקלות שדה חשמלי של מספר גופים סימטריים - לדוגמה: כדור, גליל, ומשטח אינסופי. בגופים אחרים (שאינם סימטריים) נחשב את השדה החשמלי בעזרת אינטגרל על חוק קולון במקום. חשוב לציין כי חוק גאוס עצמו אינו שימושי ישירות לפתרון תרגילים - בתרגילים נשתמש בנוסחאות המוכחות בעזרתו (למשל, נוסחת השדה של משטח טעון, שכבר למדנו).
בחירת מעטפת גאוס - משטח אינסופי
להוכחת שדה חשמלי של משטח אינסופי, בוחרים מעטפת גלילית (כמו "פחית" החוצה את המשטח). השטף דרך הדפנות הצדדיות של המעטפת מתבטל מטעמי סימטריה (השדה מקביל לדפנות, לא חוצה אותן):
$$ \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \oint_{S_{up}}\vec{E}_{up}\cdot d\vec{A} + \oint_{S_{down}}\vec{E}_{down}\cdot d\vec{A} $$
השוואת התוצאה לכמות המטען הכלוא נותנת את נוסחת השדה הקבוע שכבר הכרנו: \( E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \).
בחירת מעטפת גאוס - תיל אינסופי
להוכחת שדה חשמלי של תיל אינסופי, בוחרים גם כן מעטפת גלילית - הפעם עם התיל עובר לאורך ציר הגליל. השטף דרך הבסיסים (הפאה העליונה והתחתונה) מתבטל מטעמי סימטריה, ורק השטף דרך הדופן הצדדית תורם:
$$ \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} = \oint_{S_{side}}\vec{E}_{side}\cdot d\vec{A} $$
מכאן מתקבל שעוצמת השדה החשמלי של תיל אינסופי פרופורציונלית לצפיפותו האורכית, והפוכה למרחק ממנו (בשונה משדה של מטען נקודתי, שדה זה יורד ביחס הפוך למרחק - לא לריבועו).
עיקרון כללי לבחירת המעטפת
הבחירה הנכונה של צורת מעטפת גאוס תלויה בסימטריה של הבעיה: משטח כדורי לגופים בעלי סימטריה כדורית (כדור, קליפה), משטח גלילי לגופים בעלי סימטריה צירית (תיל, גליל, משטח אינסופי). המטרה תמיד זהה - לבחור מעטפת שעליה השדה קבוע בגודלו ומקביל (או ניצב) לוקטור השטח בכל נקודה, כדי לאפשר להוציא את E מחוץ לאינטגרל.