בגרות – שלושה כדורים בשדה

שלושה כדורי מתכת זהים A, B, ו-C, שאינם טעונים, הוכנסו כשהם נוגעים זה בזה לאורך קו ישר, לתחום שבו שורר שדה חשמלי אחיד \( \vec{E} \) (מכוון מ-A לכיוון C). לאחר זמן-מה הם הורחקו זה מזה עדיין בתוך השדה, ולאחר מכן הוצאו מתחום השדה.

א. מטען כל כדור בתום התהליך

\( \vec{E} \) מכוון מ-A לכיוון C. אלקטרונים (מטען שלילי) חשים כוח בכיוון הפוך לשדה - כלומר לכיוון A. במהלך הזמן שבו שלושת הכדורים נוגעים זה בזה הם מתנהגים כמוליך אחד, והאלקטרונים החופשיים נעים לכיוון A.

• כדור A - הצטברו בו אלקטרונים נוספים → טעון שלילי.
• כדור B - נמצא באמצע, לא נשאר עליו עודף או חוסר אלקטרונים לאחר ההפרדה → נייטרלי.
• כדור C - איבד אלקטרונים (הם נמשכו לכיוון A) → טעון חיובי.

ב. תרשים הכוחות על כדור C בנקודה P

לאחר ההפרדה, כדור C (חיובי) נע במעגל סביב כדור A (שלילי) על משטח אופקי חלק. שלושה כוחות פועלים עליו:

• כוח חשמלי (קולון) \( F_e \) - מכוון אל מרכז המעגל (לכיוון A), זהו הכוח הכולל שגורם לתנועה המעגלית.
• משקל \( mg \) - כלפי מטה.
• כוח נורמל \( N \) - כלפי מעלה מהמשטח.

המשקל והנורמל מאזנים זה את זה (אין תאוצה אנכית), והכוח החשמלי הוא הכוח הכולל בכיוון הרדיאלי (הכוח הצנטריפטלי).

ג. חישוב מטען כדור C

מכיוון ש\( |q_A| = |q_C| = q \) (מטענים שווים בגודלם ומנוגדים בסימנם, כתוצאה מהפרדה סימטרית), הכוח החשמלי משמש ככוח הצנטריפטלי:

$$ k\frac{q^2}{r^2} = \frac{mv_0^2}{r} $$

$$ q = \sqrt{\frac{mv_0^2 r}{k}} $$

הצבת הנתונים \( m=0.01 \ kg,\ v_0=2 \ m/s,\ r=0.9 \ m \):

$$ q = \sqrt{\frac{0.01\times 2^2 \times 0.9}{8.99\times10^{9}}} \approx 2.0\times10^{-6} \ C $$

(חיובי, כפי שנקבע בסעיף א׳).

ד. שינוי במספר האלקטרונים בכדור C

כדור C הפך לחיובי, כלומר איבד אלקטרונים. מספר האלקטרונים שאבדו:

$$ \Delta N = \frac{q}{e} = \frac{2.0\times10^{-6}}{1.6\times10^{-19}} \approx 1.25\times10^{13} $$

כלומר כדור C איבד כ-\( 1.25\times10^{13} \) אלקטרונים.

ה. החלפת מקומות בין A ל-C

כעת C (חיובי, טעון \( q \)) קבוע במרכז, ו-A (שלילי, טעון באותו גודל \( q \)) מקבל את אותה מהירות התחלתית \( v_0 \), באותו מרחק \( r \). הכוח החשמלי תלוי במכפלת גדלי המטענים \( |q_A|\cdot|q_C| \), שזהה בשני המקרים (שני המטענים שווים בגודלם), והמסה זהה. לכן תנאי התנועה המעגלית האחידה זהים לחלוטין:

כן - התנועה של כדור A זהה לזו שהייתה לכדור C (אותו רדיוס, אותה מהירות, אותה תנועה מעגלית אחידה) - רק שעכשיו A הוא זה שמקיף את C, ולא להפך.

ו. אם B מוחלף בכדור מבודד D

הפעם כדור B (המוליך האמצעי) הוחלף בכדור D העשוי מחומר מבודד. חומר מבודד אינו מאפשר לאלקטרונים לזרום דרכו. משמעות הדבר: אין נתיב מוליך רציף בין A ל-C, ולכן אין העברת מטען בין A ל-C - בניגוד למצב הקודם שבו B (מוליך) חיבר ביניהם.

כל אחד מהגופים עשוי אמנם להתקטב פנימית בנוכחות השדה, אך מכיוון שאף מטען לא עבר בפועל בין הגופים, ברגע שמוציאים אותם מהשדה הם חוזרים למצב נייטרלי:

• כדור A - נייטרלי.
• כדור C - נייטרלי.
• כדור D - נייטרלי (וממילא אינו יכול להחזיק מטען חופשי, בהיותו מבודד).