בגרות – קשר צפיפות זווית

כדור קטן מוליך, טעון במטען \( q_1 \) ומסתו \( m_1 \), תלוי בחוט מבודד קל מול לוח מוליך גדול הטעון במטען חיובי שצפיפותו השטחית \( \sigma \) (אחידה). הכדור סטה לכיוון הלוח, וכשהגיע למצב שיווי משקל נוצרה זווית \( a \) בין החוט לכיוון האנכי. מסת הכדור \( m_1 = 1\ gr = 1\times10^{-3}\ kg \).

נמדדו כמה זוגות ערכים של צפיפות המטען \( \sigma \) על הלוח וזווית הסטייה \( a \) המתאימה (בטבלה מוצג \( \tan(a) \)):

א. תרשים הכוחות על הכדור התלוי

על הכדור פועלים שלושה כוחות: מתיחות החוט \( T \) (לאורך החוט), משקל \( m_1 g \) (כלפי מטה), וכוח חשמלי \( F_e \) (אופקי, לכיוון הלוח).

ב. פיתוח הקשר בין tan(a) ל-σ

משוואות שיווי המשקל: אנכית \( T\cos a = m_1 g \), אופקית \( T\sin a = F_e \). מחלקים אחת בשנייה:

$$ \tan a = \frac{F_e}{m_1 g} $$

הכוח על הכדור נובע מהשדה שיוצר הלוח הטעון, \( E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \), ולכן \( F_e = q_1 E = \dfrac{q_1 \sigma}{2\varepsilon_0} \). מציבים:

$$ \tan a = \frac{q_1}{2\varepsilon_0 m_1 g}\cdot \sigma $$

זהו קו ישר כתלות ב-\( \sigma \), שהשיפוע שלו הוא \( \dfrac{q_1}{2\varepsilon_0 m_1 g} \).

הערה - למה דווקא tan(a) הוא הבחירה הנכונה לישור הגרף: אפשר לוודא זאת גם בלי לפתח את המשוואה, רק משיקולים פיזיקליים. ככל ש-\( \sigma \) גדל, הכוח החשמלי חזק יותר, ולכן מצפים שהזווית \( a \) תגדל בהתאם - כלומר מחפשים פונקציה עולה. כאשר \( \sigma=0 \) אין כוח חשמלי כלל, ומצפים ש-\( a=0 \) - וזו בדיוק הפונקציה \( \tan(0)=0 \). וכאשר \( \sigma \) גדל ללא גבול, הזווית שואפת ל-\( 90^\circ \) אך לעולם אינה מגיעה אליה בפועל (שכן תמיד קיים רכיב משקל \( m_1g \) כלפי מטה שדורש רכיב מתיחות אנכי, ולכן החוט לעולם לא יהיה אופקי לגמרי) - וזה בדיוק ההתנהגות של \( \tan(a) \), השואף לאינסוף כאשר \( a\to90^\circ \). ההתאמה הזו בין ההתנהגות הפיזיקלית הצפויה להתנהגות הפונקציה המתמטית היא הסימן לכך שזהו המשתנה הנכון לגרף.

ג. שיפוע הגרף

מציירים דיאגרמת פיזור של \( \tan(a) \) כפונקציה של \( \sigma \), ומעבירים ישר מגמה - קו שמחצית מהנקודות נמצאות מעליו ומחצית מתחתיו, ולא בהכרח קו שעובר בדיוק דרך כל נקודה. חשוב: למרות שמהמשוואה שפותחה בסעיף ב' ברור שהקו התיאורטי אמור לעבור דרך ראשית הצירים (\( \sigma=0 \Leftarrow a=0 \)), אין "לכפות" את קו המגמה לעבור בדיוק דרך הראשית - ממשיכים לפי כלל חצי-מעל-חצי-מתחת ביחס לנתוני המדידה בפועל, גם אם התוצאה חולפת מעט ליד הראשית ולא בדיוק דרכה. הפער בין המצופה תיאורטית למתקבל בפועל הוא תוצאה טבעית של אי-דיוקי מדידה.

השיפוע נלקח משתי נקודות על קו המגמה עצמו (לא מנתוני המדידה הגולמיים). קריאה מהקו נותנת בקירוב:

$$ \text{slope} \approx \frac{0.21-0.07}{5.00-1.50}\times10^{7} \approx 4.0\times10^{5}\ \left(\frac{C}{m^2}\right)^{-1} $$

ד. סימן וגודל המטען q₁

הכדור נמשך אל הלוח - כלומר הכוח עליו מכוון לכיוון הלוח, בעוד שהשדה שיוצר לוח חיובי מכוון החוצה ממנו. כדי שהכוח \( F=q_1E \) יצביע נגד כיוון השדה, המטען \( q_1 \) חייב להיות שלילי.

את גודל המטען מוצאים מהשיפוע:

$$ |q_1| = \text{slope}\times 2\varepsilon_0 m_1 g = 4.0\times10^{5}\times 2\times(8.85\times10^{-12})\times(1\times10^{-3})\times9.8 $$

$$ |q_1| \approx 6.9\times10^{-8}\ C \quad\Rightarrow\quad q_1 \approx -6.9\times10^{-8}\ C $$

ו. מיקום כדור נוסף q₂ שאינו סוטה מהאנך

מוסיפים כדור מוליך נוסף, טעון \( q_2 \), שגודלו כגודל \( q_1 \) אך סימנו הפוך (כלומר \( q_2 \) חיובי), תלוי אף הוא על חוט מבודד קל מול אותו לוח. מבלי לשנות את \( \sigma \), שני החוטים מגיעים למצב שבו הם אנכיים (\( a=0 \) בשניהם) - כלומר הכוח האופקי השקול על כל אחד מהכדורים הוא אפס.

מכיוון ששני הכדורים טעונים וקרובים זה לזה, כל אחד מהם חש שני כוחות אופקיים: הכוח מהשדה האחיד של הלוח, והכוח החשמלי (קולון) מהכדור השני. לצורך איזון, שני הכוחות הללו חייבים להיות שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם על כל כדור בנפרד.

על \( q_1 \) (שלילי): השדה מהלוח מושך אותו לכיוון הלוח. כדי לאזן זאת, הכוח מ-\( q_2 \) (חיובי, מושך את \( q_1 \) - מטענים מנוגדים) חייב למשוך אותו הרחק מהלוח - כלומר \( q_2 \) חייב להימצא רחוק יותר מהלוח מאשר \( q_1 \).

על \( q_2 \) (חיובי): השדה מהלוח דוחה אותו הרחק מהלוח. כדי לאזן זאת, הכוח מ-\( q_1 \) (מושך, מטענים מנוגדים) חייב למשוך אותו לכיוון הלוח - כלומר לכיוון \( q_1 \), שנמצא קרוב יותר ללוח. שני התנאים מתקיימים בו-זמנית באותה סידור אחד: \( q_1 \) קרוב ללוח, \( q_2 \) רחוק ממנו יותר, שניהם באותו צד של הלוח.

סידור זה מתאים לתרשים 1 בלבד. תרשימים 3 ו-4, שבהם הכדורים נמצאים משני צדי הלוח, אינם אפשריים: במקרה כזה השדה מהלוח מושך את \( q_1 \) ואת \( q_2 \) שניהם לכיוון הלוח (משיכה/דחייה מכל צד פונה פנימה או החוצה מהלוח לפי הצד), בעוד שהכוח ההדדי ביניהם היה פועל גם הוא באותו כיוון על שניהם (משיכה הדדית דרך הלוח) - כך ששני הכוחות על כל כדור פועלים באותו כיוון ולעולם אינם יכולים לאזן זה את זה. תרשים 2, שבו \( q_2 \) קרוב ללוח ו-\( q_1 \) רחוק ממנו, הפוך מהנדרש - ולכן גם הוא אינו אפשרי.