בגרות – כוח חשמלי וישור לינארי

שני כדורים קטנים \( A \) ו-\( B \) מוצבים על מעמד מעבדתי. כדור \( A \) קשור בחוט מבודד לזרוע קבועה (זרוע 1), וכדור \( B \) תלוי בחוט מבודד מזרוע הניתנת להזזה אנכית (זרוע 2). מרכזי הכדורים נמצאים על קו אנכי אחד. כדור \( A \) טעון במטען \( q \), וכדור \( B \) טעון במטען זהה בגודל ומנוגד בסימן, \( -q \), כך שהכוח ביניהם הוא כוח משיכה. מסתו של כל כדור היא \( m \).

נמדדה מתיחות החוט התומך בכדור \( B \), \( T_B \), עבור כמה מרחקים \( r \) בין מרכזי הכדורים:

שלב 1 — ניתוח הכוחות על כדור B

על כדור \( B \) פועלים שלושה כוחות. לכל כוח צריך לציין ארבעה דברים: שם, כיוון, גודל, ומי מפעיל אותו:

• מתיחות \( T_B \) - כלפי מעלה - מופעל על ידי החוט.
• כוח כבידה (משקל) \( mg \) - כלפי מטה - מופעל על ידי כדור הארץ.
• כוח חשמלי (קולון) \( F_e \) - כלפי מטה, לכיוון \( A \) - מופעל על ידי כדור \( A \).

משוואת שיווי המשקל (הגוף לא זז, אז סכום הכוחות אפס):

$$ T_B = mg + k\frac{q^2}{r^2} $$

שלב 2 — מציאת משתנה שהופך את הגרף לליניארי

הביטוי הוא ליניארי אם בוחרים כמשתנה חדש את \( Z = \dfrac{1}{r^2} \) (ביחידות \( 1/m^2 \)):

$$ T_B = k q^2 \cdot Z + mg $$

זהו קו ישר שבו השיפוע הוא \( kq^2 \) והחיתוך עם ציר ה-\( T_B \) הוא \( mg \).

שלב 3 — חישוב מהגרף

קודם כל מחשבים את \( Z=1/r^2 \) לכל שורה בטבלה:

מציירים דיאגרמת פיזור של \( T_B \) כפונקציה של \( Z \) (חמש הנקודות מהטבלה), ומעבירים ישר מגמה - קו שעובר הכי קרוב לכל הנקודות (בערך חצי מהן מעליו וחצי מתחתיו). זה בעצם "ממוצע" חכם של כל המדידות ביחד, שמפצה על טעויות מדידה קטנות.

נקודה חשובה: את השיפוע מחשבים משתי נקודות שנמצאות על קו המגמה עצמו - לא משתי נקודות מדידה מהטבלה המקורית. השימוש בנתוני המדידה הגולמיים מבטל את המטרה של ציור הגרף (שהיא בדיוק להתעלם מהרעש שבמדידות בודדות ולהסתמך על הממוצע שהקו מייצג). עדיף לבחור שתי נקודות רחוקות זו מזו על הקו, רצוי במקומות שבהם הקו חוצה בדיוק את קווי הרשת (כדי לקרוא אותן במדויק).

לצורך ההמחשה כאן, נניח שקריאה כזו מקו המגמה נתנה שתי נקודות בקירוב לערכי הקצה של הטבלה:

$$ \text{slope} = \frac{T_B(Z_1) - T_B(Z_5)}{Z_1 - Z_5} = \frac{0.41 - 0.21}{39.06 - 17.36} = \frac{0.20}{21.70} \approx 0.0092 \ \frac{N}{1/m^2} $$

את החיתוך עם הציר מוצאים על ידי הצבה חזרה של אחת הנקודות בישר \( T_B = \text{slope}\cdot Z + \text{intercept} \):

$$ \text{intercept} = T_B(Z_5) - \text{slope}\cdot Z_5 = 0.21 - 0.0092 \times 17.36 \approx 0.05 \ N $$

אפשר לבדוק את ההתאמה על נקודה אמצעית, למשל \( Z=25 \): \( 0.05 + 0.0092\times 25 \approx 0.28 \ N \) — תואם היטב לערך הנמדד בטבלה.

שלב 4 — חילוץ q ו-m

מהחיתוך:

$$ mg = 0.05 \ N \quad \Rightarrow \quad m = \frac{0.05}{9.8} \approx 5.1 \times 10^{-3} \ kg $$

מהשיפוע:

$$ kq^2 = 0.0092 \quad \Rightarrow \quad q = \sqrt{\frac{0.0092}{8.99\times10^{9}}} \approx 1.0 \times 10^{-6} \ C $$

שלב 5 — איזה חוט נקרע ראשון?

פתרון א׳ — לפי משוואות:

בודקים גם את כדור \( A \). עליו פועלים: המשקל \( mg \) כלפי מטה, כוח המשיכה מכדור \( B \) (כלפי מעלה, לכיוון \( B \)), ומתיחות החוט \( T_A \) כלפי מטה (כי הוא קשור לזרוע הקבועה שמתחתיו). שיווי משקל:

$$ T_A + mg = k\frac{q^2}{r^2} \quad \Rightarrow \quad T_A = k\frac{q^2}{r^2} - mg $$

לעומת זאת עבור כדור \( B \) קיבלנו קודם \( T_B = k\dfrac{q^2}{r^2} + mg \). כלומר בכל מרחק \( r \):

$$ T_B - T_A = 2mg $$

ההפרש בין שתי המתיחויות קבוע ואינו תלוי ב-\( r \), ותמיד \( T_B > T_A \). לכן כאשר מקרבים את הכדורים זה לזה והכוח גדל, החוט של כדור \( B \) מגיע ראשון לערך \( T_{max} \) - החוט התומך בכדור B נקרע ראשון.

פתרון ב׳ — לפי אינטואיציה עם מספרים עגולים:

אפשר להבין את זה גם בלי משוואות, רק על ידי הצבת מספרים לדוגמה. נניח שבמרחק מסוים הכוח החשמלי בין הכדורים הוא \( 6 \ N \), והמשקל של כל כדור הוא \( 5 \ N \).

על כדור \( B \) (העליון, התלוי מלמעלה): שני הכוחות - המשקל וההמשיכה החשמלית - פועלים באותו כיוון (שניהם מושכים אותו כלפי מטה, לכיוון \( A \)). לכן החוט צריך להתנגד לשניהם יחד:

$$ T_B = 6 + 5 = 11 \ N $$

על כדור \( A \) (התחתון, קשור לזרוע הקבועה): המשקל מושך אותו כלפי מטה, אבל המשיכה החשמלית מושכת אותו כלפי מעלה (לכיוון \( B \)) - כלומר שני הכוחות מנוגדים ומקזזים חלק אחד מהשני. החוט צריך להתנגד רק להפרש ביניהם:

$$ T_A = 6 - 5 = 1 \ N $$

רואים מיד שהמתיחות בחוט העליון (\( B \)) גדולה בהרבה מזו שבחוט התחתון (\( A \)), כי אצל \( A \) הכוחות מקזזים אחד את השני ואצל \( B \) הם מצטברים. ככל שמקרבים את הכדורים והכוח החשמלי גדל, שני החוטים מתחזקים, אבל \( T_B \) תמיד נשאר גדול משמעותית מ-\( T_A \) - ולכן החוט התומך בכדור B נקרע ראשון.