בגרות – שדה כדור הארץ מחוט ישר (מצפן)
פתרון: בגרות קיץ תשפ"ג 2023, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 4
תלמידים מודדים את המרכיב האופקי \( B_{E\parallel} \) של השדה המגנטי של כדור הארץ באזור מגוריהם. הם הניחו מצפן קטן על שולחן, ומתחו תיל מוליך ישר וארוך (תיל 1) בניצב למישור השולחן. המרחק בין המצפן לתיל מסומן ב-\( x \). התלמידים הזיזו את המצפן לאורך קו שכיוונו צפונה ממיקום התיל.
א. כיוון הזרם בתיל 1
מחט המצפן סטתה מכיוון צפון כלפי מטה (כפי שמתואר באיור), כלומר השדה המגנטי שנוצר ע"י הזרם בתיל 1 באזור המצפן מכוון כלפי מטה. לפי כלל הבורג (יד ימין), כיוון הזרם \( I_1 \) בתיל 1 הוא החוצה מן הדף.
ב. ביטוי ל-tanα כתלות ב-x
זווית הסטייה של המצפן מקיימת \( \tan\alpha = \dfrac{B}{B_{E\parallel}} \), כאשר \( B \) הוא השדה שיוצר התיל הישר במרחק \( x \):
$$ \tan\alpha = \frac{B}{B_{E\parallel}} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi x\, B_{E\parallel}} $$
ג. משתנה חדש להליניאריזציה
מכיוון ש-\( \tan\alpha \) פרופורציוני ל-\( 1/x \) (ולא ל-\( x \) עצמו), המשתנה החדש שיש להוסיף לטבלה הוא \( \dfrac{1}{x} \), ביחידות של \( \mathrm{m^{-1}} \):
|
x (m) |
0.10 |
0.15 |
0.20 |
0.25 |
0.30 |
|
α (מעלות) |
29 |
20 |
16 |
13 |
9 |
|
tanα |
0.55 |
0.36 |
0.29 |
0.23 |
0.16 |
|
1/x (m⁻¹) |
10.0 |
6.67 |
5.00 |
4.00 |
3.33 |
ד. דיאגרמת פיזור וקו מגמה
(1) יש לשרטט דיאגרמת פיזור נקודות של \( \tan\alpha \) כתלות ב-\( 1/x \) (המשתנה החדש שהוגדר בסעיף ג').
(2) יש להוסיף לדיאגרמה את הישר המתאים למגמה ביותר (רגרסיה לינארית).
ה. חישוב B_E∥
לפי הביטוי בסעיף ב', שיפוע הגרף (\( \tan\alpha \) כתלות ב-\( 1/x \)) שווה ל-\( \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi B_{E\parallel}} \). מהגרף מתקבל שיפוע של כ-\( 0.0558 \). משווים:
$$ \frac{\mu_0 I_1}{2\pi B_{E\parallel}} = 0.0558 \quad\Longrightarrow\quad B_{E\parallel} \approx 2.87\times10^{-5}\ \mathrm{T} = 28.7\ \mu\mathrm{T} $$
ו. תיל שני - כיוון ועוצמת הזרם I2
בהמשך השאלה, מחברים תיל שני (תיל 2, ניצב לשולחן במרחק שווה \( x \) מהמצפן) בקצה ישר המחבר בין שני התילים. כאשר זרם \( I_1=5\mathrm{A} \) עבר בתיל 1 בלבד, המצפן סטה בזווית \( \alpha \) נגד כיוון השעון (מבט מלמעלה). כאשר במקום זאת זרם \( I_2 \) עבר בתיל 2 בלבד (ובתיל 1 לא עבר זרם), המצפן סטה באותה זווית \( \alpha \) אך עם כיוון השעון (כיוון הפוך).
כיוון הזרם בתיל 2 הוא החוצה מן הדף, ועוצמתו \( I_2=10\ \mathrm{A} \).
נימוק: מכיוון שהמחט סטתה לכיוון ההפוך (עם כיוון השעון), השדה המגנטי שיוצר הזרם בתיל 2 באזור המצפן מכוון כלפי מעלה - הפוך מהשדה שיצר תיל 1. לפי כלל הבורג, כיוון הזרם בתיל 2 הוא גם הוא החוצה מן הדף (בהינתן הגיאומטריה הניצבת בין שני התילים, זהו הכיוון שמתאים לשדה כלפי מעלה במיקום המצפן). מכיוון שהמחט סטתה באותה זווית \( \alpha \) בדיוק (רק בכיוון הפוך) ושני התילים נמצאים באותו מרחק \( x \) מהמצפן, השדה שיוצר תיל 2 שווה בגודלו לשדה שיצר תיל 1 - למעט העובדה שנתון כי עוצמת הזרם בתיל 2 גדולה פי 2 מזו שבתיל 1, ולכן:
$$ I_2 = 2\times I_1 = 2\times5=10\ \mathrm{A} $$