בגרות – חלקיק בציקלוטרון

פתרון: בגרות קיץ תשפ"ב 2022, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 4

מערכת ציקלוטרון: שני חצאי עיגול מוליכים (M ו-N), המופרדים בפער קטן (מבודד, C), כמתואר בתרשים 1. בתוך כל חצי-עיגול קיים שדה מגנטי אחיד \( B \) (לתוך הדף), ובפער שביניהם קיים שדה חשמלי \( E \) שמאיץ את החלקיקים הטעונים (פרוטונים) בכל מעבר, כאשר כיוון השדה החשמלי מתחלף בכל פעם שהחלקיקים משלימים חצי-סיבוב, כך שהם תמיד מואצים (ולא מואטים) במעבר בין שני חצאי העיגול.

א. תנועת החלקיק ברדיוס הולך וגדל, כיוון הסיבוב

(1) תנועת הפרוטון בכל אחד משני חצאי העיגול היא מעגלית (בקירוב), מכיוון שהכוח המגנטי \( \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B} \) תמיד מאונך לכיוון המהירות - וזהו בדיוק התנאי לתנועה מעגלית אחידה (כוח בגודל קבוע, מאונך למהירות, המשמש ככוח הצנטריפטלי).

הסבר לגידול הרדיוס: מחוק ניוטון השני, \( qvB=\dfrac{mv^2}{R} \), ומכאן:

$$ R=\frac{mv}{qB} $$

הרדיוס פרופורציוני ישירות למהירות, ומהירות הפרוטון גדלה בכל פעם שהוא חוצה את השדה החשמלי בפער - ולכן הרדיוס הולך וגדל בכל חצי-סיבוב.

(2) לפי כלל יד ימין (כיוון B לתוך הדף, וכיוון סיבוב הפרוטון הנגזר מכיוון הכוח המרכזי), הפרוטון נע נגד כיוון השעון.

ב. הוכחה ששני חצאי הסיבוב אורכים זמן שווה

זמן מחזור מלא: \( T=\dfrac{2\pi m}{qB} \), ולכן זמן חצי-סיבוב:

$$ t=\frac{T}{2}=\frac{\pi m}{qB} $$

ביטוי זה אינו תלוי כלל במהירות \( v \) או ברדיוס \( R \) - אלא רק בגדלים קבועים (\( m,\,q,\,B \)). לכן זמן חצי-הסיבוב זהה בכל פעם, ובפרט זהה בין חצי-העיגול M לחצי-העיגול N, למרות שהרדיוס (והמהירות) שונים בכל מעבר.

ג. חישוב השדה המגנטי B

לפי הגרף, מחצית זמן המחזור היא \( \frac{T}{2}=7\ \mathrm{ns}=7\times10^{-9}\mathrm{s} \). מציבים בביטוי מסעיף ב' (עם \( m_p=1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg} \), \( q=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C} \)):

$$ B=\frac{\pi m_p}{q\cdot(T/2)}=\frac{\pi\times1.67\times10^{-27}}{1.6\times10^{-19}\times7\times10^{-9}}\approx4.68\ \mathrm{T} $$

ד. חישוב השדה החשמלי E

לפי הגרף, משך הזמן שהפרוטון שוהה בשדה החשמלי (בכל מעבר בפער) הוא \( 3\ \mathrm{ns} \), והשינוי במהירותו במעבר זה הוא \( \Delta v=0.4\times10^{5}\ \mathrm{m/s} \). מכאן התאוצה:

$$ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{0.4\times10^5}{3\times10^{-9}}\approx1.33\times10^{13}\ \mathrm{m/s^2} $$

מחוק ניוטון השני על הפרוטון בשדה החשמלי (\( qE=ma \)):

$$ E=\frac{ma}{q}=\frac{1.67\times10^{-27}\times1.33\times10^{13}}{1.6\times10^{-19}}\approx1.39\times10^{5}\ \mathrm{V/m} $$

ה. השוואה בין F1 ל-F2

הביטוי לכוח המגנטי הפועל על הפרוטון הוא \( F=qvB \). בכל כניסה נוספת של הפרוטון לתחום השדה המגנטי, מהירותו גדולה יותר מבפעם הקודמת (כי הוא הואץ בשדה החשמלי בדרך). לכן, ומכיוון ש-\( q \) ו-\( B \) קבועים:

\( F_1 < F_2 \) - הכוח הרדיאלי בכניסה השנייה גדול יותר מבכניסה הראשונה, כי המהירות באותו רגע גדולה יותר.