מרכיבים לגודל וכיוון

מכניקה חישובים וקטורים מרכיבים לגודל וכיוון

בתהליך

לכל וקטור ניתן לכתוב רכיב אופקי ורכיב אנכי. סכום הווקטורים האלו נותן את הווקטור המקורי:

וקטורים

מרכיבים לגודל וכיוון

יודעים כמה הווקטור הולך ימינה וכמה למעלה. איך מוצאים כמה הוא ארוך, ולאן הוא מצביע? פיתגורס, טנגנס, ומלכודת אחת של המחשבון.

גודלכיווןפיתגורסtan⁻¹רבעים

פתיחה

כמה רחוק, ולאיזה כיוון?

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: הלכתי 3 km מזרחה ו-4 km צפונה. כמה רחוק אני מההתחלה, ובאיזה כיוון?

1. הגודל: הרכיבים הם הניצבים, והווקטור הוא היתר. לפי פיתגורס:$V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \text{km}$

2. הכיוון: הטנגנס של הזווית הוא הניצב שמול חלקי הניצב הצמוד:$\tan\theta=\frac{V_y}{V_x}=\frac{4}{3}$

הזווית: הופכים את הטנגנס במחשבון (shift tan):$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\approx53^\circ$

שימו לב: התשובה המלאה: 5 km בזווית $53^\circ$ צפונית למזרח.

למה צריך את זה?

חיבור וקטורים בעזרת רכיבים

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: שני כוחות פועלים על גוף: 10 N מזרחה, ו-20 N בזווית $60^\circ$. מה הכוח השקול?

1. מפרקים כל כוח לרכיבים:$F_{2x}=20\cos60^\circ=10,\quad F_{2y}=20\sin60^\circ\approx17.3$

2. מחברים את הרכיבים של כל ציר בנפרד, כמו מספרים רגילים:$R_x=10+10=20\ \text{N},\quad R_y=0+17.3=17.3\ \text{N}$

3. חוזרים לגודל ולכיוון:$R=\sqrt{20^2+17.3^2}\approx26.5\ \text{N},\quad \theta=\tan^{-1}\tfrac{17.3}{20}\approx41^\circ$

שימו לב: זו הדרך המדויקת לחבר וקטורים: מפרקים, מחברים רכיבים, וחוזרים לגודל וכיוון.

מלכודת

כשהרכיב האופקי שלילי

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: וקטור עם $V_x=-3$ ו-$V_y=4$. מה הזווית שלו?

1. המחשבון נותן:$\tan^{-1}\left(\frac{4}{-3}\right)\approx-53^\circ$

2. אבל הווקטור מצביע שמאלה ולמעלה! הזווית האמיתית:$\theta=180^\circ-53^\circ=127^\circ$

הכלל: תמיד משרטטים את הווקטור לפני שמחשבים זווית. אם $V_x\lt 0$, מוסיפים $180^\circ$ לתשובה של המחשבון.

שימו לב: המחשבון לא יודע אם שני הרכיבים שליליים או שניהם חיוביים: $\tfrac{4}{3}$ ו-$\tfrac{-4}{-3}$ נותנים אותו דבר.

משחק

נסו בעצמכם

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: גררו את הווקטור לכל רבע. מתי התשובה של המחשבון שונה מהזווית האמיתית?

1. הגודל תמיד יוצא חיובי, בכל רבע:$V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}$

2. השורה האחרונה בתיבה מראה מה המחשבון נותן ל-$\tan^{-1}\tfrac{V_y}{V_x}$. כשהיא באדום, היא לא הזווית האמיתית.

שימו לב: ברבע הראשון המחשבון צודק. ברבעים השני והשלישי ($V_x\lt 0$) צריך להוסיף $180^\circ$.

גררו את העיגול

סיכום

מרכיבים לגודל וכיוון

גודל$V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}$

כיוון$\theta=\tan^{-1}\frac{V_y}{V_x}$

אם $V_x\lt 0$מוסיפים $180^\circ$

חיבור וקטוריםמפרקים, מחברים רכיבים, חוזרים

טעויות נפוצות

מחברים גדלים במקום רכיבים: מחברים $x$ עם $x$ ו-$y$ עם $y$, ורק בסוף מחשבים גודל.

סומכים על המחשבון: תמיד משרטטים קודם ובודקים באיזה רבע הווקטור.

מאיזה ציר הזווית? $\tan^{-1}\tfrac{V_y}{V_x}$ נותן את הזווית מציר x.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←

$$ \vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y $$

כאשר:

$$ \vec{v}_x = (v_x, 0) \quad , \quad \vec{v}_y = (0, v_y) $$

גודל הווקטור הוא:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

והכיוון (הזווית ביחס לציר ה-x):

$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) $$

הדגמה: מרכיבים לגודל וכיוון

גררו את קצה הרכיב Vx (אדום) או את קצה הרכיב Vy (ירוק) - הווקטור הכחול (הסכום שלהם) יתעדכן אוטומטית.