חלוקת וקטור לרכיבים

מכניקה חישובים וקטורים חלוקת וקטור לרכיבים

בתהליך

כאשר יש לנו וקטור – לדוגמה כוח, מהירות או תאוצה – נרצה לעיתים לדעת מה החלק שלו בציר האופקי (x) ומה החלק בציר האנכי (y). פעולה זו נקראת פירוק וקטור לרכיבים.

נניח שווקטור V נוצר בזווית θ ביחס לציר ה-x. אזי:

הרכיב האופקי הוא: $$ V_x = V \cdot \cos(\theta) $$
הרכיב האנכי הוא: $$ V_y = V \cdot \sin(\theta) $$

נשתמש בהדגמה הבאה כדי להבין כיצד אורך הווקטור והזווית משפיעים על הרכיבים:

הדגמה: חלוקת וקטור לרכיבים

גררו את קצה הווקטור הכחול כדי לראות כיצד אורכו והזווית שלו משפיעים על הרכיבים Vx (אדום) ו-Vy (ירוק).

וקטורים

חלוקת וקטור לרכיבים

כוח באלכסון עושה שני דברים בבת אחת: מושך קדימה וגם מרים. נלמד לפרק וקטור לחלק האופקי ולחלק האנכי שלו, ונשחק עם זה בהדגמות.

רכיב אופקירכיב אנכיcos ו-sinסימנים

פתיחה

כמה מהכוח באמת מושך קדימה?

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: ילד מושך מזחלת בחבל של 100 N. האם כל 100 הניוטון מושכים את המזחלת קדימה?

1. החבל מושך באלכסון. חלק מהכוח מושך קדימה, וחלק מהכוח מרים את המזחלת.

2. שני החלקים האלה נקראים רכיבי הכוח. ביחד, בשיטת ראש לזנב, הם נותנים בדיוק את הכוח בחבל.

נסו: הורידו את החבל קרוב לקרקע, והרכיב הקדמי גדל. הרימו את החבל, והרכיב שמרים גדל.

גררו את העיגול

רעיון

רכיב הוא צל

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: איך "רואים" את הרכיב האופקי של וקטור?

1. מאירים על הווקטור מלמעלה. הצל שלו על ציר x הוא הרכיב האופקי $V_x$.

2. מאירים מהצד. הצל על ציר y הוא הרכיב האנכי $V_y$.

שני הרכיבים יחד, ראש לזנב, מחזירים את הווקטור המקורי:$\vec V=\vec V_x+\vec V_y$

הנוסחאות

מה המשולש אומר

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: הווקטור והרכיבים שלו יוצרים משולש ישר זווית. איזו צלע היא איזה רכיב?

1. הקוסינוס הוא הניצב הצמוד חלקי היתר:$\cos\theta=\frac{V_x}{V}\ \Rightarrow\ V_x=V\cos\theta$

2. הסינוס הוא הניצב שמול הזווית חלקי היתר:$\sin\theta=\frac{V_y}{V}\ \Rightarrow\ V_y=V\sin\theta$

כלל אצבע: הרכיב שצמוד לזווית מקבל cos, והרכיב שמול הזווית מקבל sin.

שימו לב: הזווית θ נמדדת כאן מציר x. אם הזווית נתונה מציר אחר, צריך לבדוק מי צמוד ומי מול.

דוגמה 1

כוח של 50 N בזווית 37°

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: כוח של 50 N פועל בזווית $37^\circ$ מעל האופק. מה הרכיבים שלו?

1. הרכיב האופקי:$F_x=F\cos37^\circ=50\cdot0.8=40\ \text{N}$

2. הרכיב האנכי:$F_y=F\sin37^\circ=50\cdot0.6=30\ \text{N}$

בדיקה: הרכיבים והכוח יוצרים משולש ישר זווית.$\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{2500}=50\ \text{N}$

שימו לב: בבגרות נוח להשתמש ב-$\cos37^\circ=0.8$ ו-$\sin37^\circ=0.6$.

דוגמה 2

זורקים כדור באלכסון

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: כדור נזרק במהירות 20 m/s בזווית $30^\circ$ מעל האופק. כמה מהר הוא נע קדימה, וכמה מהר הוא עולה?

1. המהירות האופקית:$v_x=20\cos30^\circ\approx20\cdot0.87\approx17.3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

2. המהירות האנכית:$v_y=20\sin30^\circ=20\cdot0.5=10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

למה זה חשוב? כוח הכובד משפיע רק על התנועה האנכית. אחרי הפירוק אפשר לפתור כל ציר בנפרד: קדימה במהירות קבועה, ולמעלה ולמטה כמו בזריקה אנכית.

מלכודת

כשהזווית נמדדת מהאנך

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: חבל נמתח בזווית $30^\circ$ מהאנך. מי מהרכיבים מקבל cos?

1. הרכיב האופקי נמצא מול הזווית, ולכן מקבל sin:$T_x=T\sin30^\circ$

2. הרכיב האנכי צמוד לזווית, ולכן מקבל cos:$T_y=T\cos30^\circ$

הכלל: לא משננים "x תמיד cos". בודקים מי צמוד לזווית ומי מולה.

משחק

סימנים של רכיבים

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: גררו את הווקטור לכל רבע במישור. מתי $V_x$ שלילי? מתי $V_y$ שלילי?

1. וקטור שמצביע ימינה: $V_x>0$. שמאלה: $V_x\lt 0$.

2. וקטור שמצביע למעלה: $V_y>0$. למטה: $V_y\lt 0$.

שימו לב: גודל הווקטור תמיד חיובי, אבל לרכיבים יש סימן שאומר את הכיוון שלהם.

גררו את העיגול

סיכום

פירוק לרכיבים

רכיב אופקי (זווית מציר x)$V_x=V\cos\theta$

רכיב אנכי (זווית מציר x)$V_y=V\sin\theta$

בדיקה$V=\sqrt{V_x^2+V_y^2}$

37°$\cos=0.8,\ \sin=0.6$

טעויות נפוצות

"x תמיד cos": נכון רק כשהזווית נמדדת מציר x. בודקים מי צמוד לזווית.

שוכחים סימן: רכיב שמצביע שמאלה או למטה הוא שלילי.

מחשבון במעלות: לוודא שהמחשבון במצב DEG ולא RAD.

בהמשך: מהרכיבים נחזור לגודל ולכיוון.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←