בגרות – שני כדורים בשדה

מורה תלה כדור פלסטיק שמסתו \( m \), טעון במטען \( q_1 \), בחוט מחובר לתקרה. בנוכחות שדה חשמלי אחיד \( E \) המכוון ימינה, הכדור סטה מהאנך בזווית \( a \) לכיוון ימין.

א. סימן וגודל המטען q₁

כמו קודם, שיווי משקל נותן \( \tan a = \dfrac{q_1 E}{mg} \). הכדור סטה באותו כיוון כמו השדה \( E \) - כלומר הכוח עליו מקביל לשדה, ולכן \( q_1 \) חיובי.

הצבת \( m=0.2 \ gr = 2\times10^{-4} \ kg,\ a=14^\circ,\ E=5700 \ N/C \):

$$ q_1 = \frac{mg\tan a}{E} = \frac{2\times10^{-4}\times9.8\times\tan14^\circ}{5700} \approx 8.6\times10^{-8} \ C $$

ב. ניסוי שני — כדור נוסף q₂ במרחק r

מוסיפים כדור פלסטיק שני, טעון במטען חיובי \( q_2 \), באותה מסה \( m \), במרחק \( r \) מהכדור הראשון. הכוחות על הכדור הראשון (\( q_1 \)) הם: מתיחות \( T \), משקל \( mg \), הכוח מהשדה החיצוני \( q_1E \), וכוח קולון \( F_{12}=k\dfrac{q_1q_2}{r^2} \) מהכדור השני (דחייה, כי שני המטענים חיוביים).

שיווי משקל אנכי: \( T\cos\beta = mg \). שיווי משקל אופקי: מכיוון שהדחייה מ-\( q_2 \) פועלת נגד כיוון השדה החיצוני:

$$ T\sin\beta = q_1E - k\frac{q_1q_2}{r^2} $$

מחלקים בין שתי המשוואות ומבודדים את \( E \):

$$ \tan\beta = \frac{q_1E - k\frac{q_1q_2}{r^2}}{mg} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{mg\tan\beta}{q_1} + k\frac{q_2}{r^2} $$

ג-ד. שימוש בגרף

המורה שינה את \( r \) מספר פעמים, ובכל פעם כיוון מחדש את \( E \) כך שזווית הסטייה \( \beta \) של הכדור הראשון נשארה קבועה. לפי הביטוי שפותח, \( E \) הוא קו ישר כתלות ב-\( 1/r^2 \):

$$ E = k q_2\cdot\frac{1}{r^2} + \frac{mg\tan\beta}{q_1} $$

קריאה מהגרף (תרשים 3, ציר \( E \) עד כ-7000 N/C, ציר \( 1/r^2 \) עד כ-100 \( 1/m^2 \)) נותנת שיפוע \( \approx 60 \) וחיתוך \( \approx 1000 \ N/C \):

$$ kq_2 \approx 60 \quad\Rightarrow\quad q_2 \approx \frac{60}{8.99\times10^{9}} \approx 6.7\times10^{-9} \ C $$

$$ \frac{mg\tan\beta}{q_1} \approx 1000 \quad\Rightarrow\quad \tan\beta \approx \frac{1000\times q_1}{mg} = \frac{1000\times8.6\times10^{-8}}{2\times10^{-4}\times9.8} \approx 0.044 \quad\Rightarrow\quad \beta \approx 2.5^\circ $$

ה. האם אפשר לגרום לשני הכדורים לסטות באותה זווית?

תלמידה הציעה לטעון את הכדור השני במטען \( q_2' \) כלשהו כך ששני הכדורים יסטו באותה זווית ימינה. זה אינו אפשרי, עבור כל ערך של \( q_2' \): כוח הדחייה ההדדי בין שני הכדורים (חוק שלישי של ניוטון) פועל בכיוונים מנוגדים על שני הכדורים - הוא מגדיל את הסטייה של אחד הכדורים ומקטין את הסטייה של השני. מכיוון שהמסות שוות והשדה החיצוני זהה לשניהם, שוויון בין הזוויות דורש שכוח הדחייה ההדדי יהיה אפס - כלומר \( q_2'=0 \), מה שסותר את ההנחה שהכדור טעון כלל.