בגרות – קשר צפיפות זווית

כדור קטן מוליך, טעון במטען \( q_1 \) ומסתו \( m_1 \), תלוי בחוט מבודד קל מול לוח מוליך גדול הטעון במטען חיובי שצפיפותו השטחית \( \sigma \) (אחידה). הכדור סטה לכיוון הלוח, וכשהגיע למצב שיווי משקל נוצרה זווית \( a \) בין החוט לכיוון האנכי. מסת הכדור \( m_1 = 1\ gr = 1\times10^{-3}\ kg \).

נמדדו כמה זוגות ערכים של צפיפות המטען \( \sigma \) על הלוח וזווית הסטייה \( a \) המתאימה (בטבלה מוצג \( \tan(a) \)):

א. תרשים הכוחות על הכדור התלוי

על הכדור פועלים שלושה כוחות: מתיחות החוט \( T \) (לאורך החוט), משקל \( m_1 g \) (כלפי מטה), וכוח חשמלי \( F_e \) (אופקי, לכיוון הלוח).

ב. פיתוח הקשר בין tan(a) ל-σ

משוואות שיווי המשקל: אנכית \( T\cos a = m_1 g \), אופקית \( T\sin a = F_e \). מחלקים אחת בשנייה:

$$ \tan a = \frac{F_e}{m_1 g} $$

הכוח על הכדור נובע מהשדה שיוצר הלוח הטעון, \( E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \), ולכן \( F_e = q_1 E = \dfrac{q_1 \sigma}{2\varepsilon_0} \). מציבים:

$$ \tan a = \frac{q_1}{2\varepsilon_0 m_1 g}\cdot \sigma $$

זהו קו ישר כתלות ב-\( \sigma \), שהשיפוע שלו הוא \( \dfrac{q_1}{2\varepsilon_0 m_1 g} \).

ג. שיפוע הגרף

מציירים דיאגרמת פיזור של \( \tan(a) \) כפונקציה של \( \sigma \), ומעבירים ישר מגמה. השיפוע נלקח משתי נקודות על קו המגמה עצמו (לא מנתוני המדידה הגולמיים). קריאה מהקו נותנת בקירוב:

$$ \text{slope} \approx \frac{0.21-0.07}{5.00-1.50}\times10^{7} \approx 4.0\times10^{5}\ \left(\frac{C}{m^2}\right)^{-1} $$

ד. סימן וגודל המטען q₁

הכדור נמשך אל הלוח - כלומר הכוח עליו מכוון לכיוון הלוח, בעוד שהשדה שיוצר לוח חיובי מכוון החוצה ממנו. כדי שהכוח \( F=q_1E \) יצביע נגד כיוון השדה, המטען \( q_1 \) חייב להיות שלילי.

את גודל המטען מוצאים מהשיפוע:

$$ |q_1| = \text{slope}\times 2\varepsilon_0 m_1 g = 4.0\times10^{5}\times 2\times(8.85\times10^{-12})\times(1\times10^{-3})\times9.8 $$

$$ |q_1| \approx 6.9\times10^{-8}\ C \quad\Rightarrow\quad q_1 \approx -6.9\times10^{-8}\ C $$