ספורטאי הטיל כידון פעמיים באימון. מערכת ממוחשבת עקבה אחר תנועת הכידון החל מהרגע שבו הוא בשיא הגובה ועד לרגע פגיעתו בקרקע.
בהטלה הראשונה: המערכת התחילה לדגום את התנועה ברגע \( t=0 \), כשהכידון בשיא גובהו, \( H \) מטרים מעל נקודה על הקרקע שהוגדרה כראשית ציר המקום (\( x=0 \)). בשיא הגובה מהירותו האופקית של הכידון הייתה \( 74\ \mathrm{km/h} \). הכידון ננעץ בקרקע בנקודה \( x=L \), בזווית של \( 42^\circ \) מתחת לאופק. התנגדות האוויר זניחה; הכידון נחשב לגוף נקודתי.
א. תיאור מילולי של תנועת הכידון
בציר האופקי: תנועה במהירות קבועה (\( 74\ \mathrm{km/h}\approx20.6\ \mathrm{m/s} \)), ללא תאוצה, כי אין כוח הפועל בכיוון האופקי.
בציר האנכי: בשיא הגובה המהירות האנכית היא אפס. מרגע זה הכידון בנפילה חופשית, תנועה שוות-תאוצה כלפי מטה (\( g=10\ \mathrm{m/s^2} \)), והמהירות האנכית גדלה בקצב קבוע עד הפגיעה בקרקע.
שיא הגובה היה נמוך ב-\( 1\ \mathrm{m} \) משיא הגובה בהטלה הראשונה, ומהירותו האופקית שונה מ-\( 74\ \mathrm{km/h} \). אולם המרחק האופקי \( L \) מרגע השיא ועד לרגע הפגיעה זהה בשתי ההטלות.
ד. גודל המהירות האופקית בשיא הגובה בהטלה השנייה
קודם מוצאים את \( L \) מההטלה הראשונה, מזמן הנפילה:
נימוק: זווית הפגיעה נקבעת לפי \( \tan\theta=v_y/v_x \). הגובה בהטלה השנייה נמוך יותר, ולכן המהירות האנכית בפגיעה קטנה יותר. זמן הנפילה קצר יותר והמרחק האופקי זהה, ולכן המהירות האופקית גדולה יותר. המונה קטן והמכנה גדל, ולכן הזווית קטנה.
בגרות 2025 · שאלה 1
הטלת כידון
מערכת ממוחשבת עוקבת אחרי כידון מרגע שהוא בשיא הגובה ועד שהוא ננעץ בקרקע. נתאר את התנועה בכל ציר, נחשב מהירות וגובה, ונשווה בין שתי הטלות.
זריקה אופקיתנפילה חופשיתפירוק מהירותזווית פגיעה
סעיף א
מה קורה בכל ציר?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: הכידון בשיא הגובה ב-\(t=0\), במהירות אופקית \(74\ \text{km/h}\), וננעץ בקרקע ב-\(x=L\) בזווית \(42^\circ\). תארו במילים את התנועה בכל ציר.
1. בציר האופקי: אין כוח אופקי (החיכוך עם האוויר זניח), ולכן אין תאוצה. הכידון נע במהירות קבועה, \(74\ \text{km/h}\).
2. בציר האנכי: בשיא הגובה המהירות האנכית היא 0. מכאן הכידון בנפילה חופשית: תאוצה קבועה \(g\) כלפי מטה, והמהירות האנכית גדלה בקצב קבוע.
זו זריקה אופקית מגובה H: מהירות קבועה בציר אחד, נפילה חופשית בציר השני.
שאלה: חשבו את גודל המהירות של הכידון ברגע הפגיעה בקרקע.
1. ממירים ל-m/s. הרכיב האופקי קבוע, ולכן זה גם הרכיב האופקי בפגיעה:\(v_x=\frac{74}{3.6}\approx20.6\ \text{m/s}\)
2. הזווית \(42^\circ\) היא בין המהירות לאופק. הרכיב האופקי הוא המהירות כפול קוסינוס הזווית:\(v_x=v\cos42^\circ\)
גודל המהירות:\(v=\frac{v_x}{\cos42^\circ}=\frac{20.6}{0.743}\approx27.7\ \text{m/s}\)
סעיף ג
הגובה המרבי H
מההתחלההצג פתרון
שאלה: חשבו את H, הגובה המרבי של מסלול הכידון.
1. הרכיב האנכי של מהירות הפגיעה, בעזרת סינוס הזווית:\(v_y=v\sin42^\circ=27.7\cdot0.669\approx18.5\ \text{m/s}\)
2. מהשיא ועד הקרקע הכידון בנפילה חופשית, ממהירות אנכית 0. זמן הנפילה:\(t=\frac{v_y}{g}=\frac{18.5}{10}\approx1.85\ \text{s}\)
הגובה המרבי, בעזרת הזמן:\(H=\tfrac{1}{2}gt^2=5\cdot1.85^2\approx17.1\ \text{m}\)
שימו לב: קיצור דרך קטן: אפשר לחשב את H ישר ממשוואת קינמטיקה בלי זמן, \(v_y^2=2gH\ \Rightarrow\ H=\frac{18.5^2}{20}\approx17.1\ \text{m}\), ולחסוך את מציאת הזמן.
סעיף ד
ההטלה השנייה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: בהטלה השנייה שיא הגובה נמוך ב-\(1\ \text{m}\), והמרחק האופקי L מהשיא עד הפגיעה זהה. חשבו את המהירות האופקית בשיא בהטלה השנייה.
1. קודם מוצאים את L מההטלה הראשונה. זמן הנפילה מהשיא, מסעיף ג:\(t_1\approx1.85\ \text{s}\)
2. המרחק האופקי: מהירות אופקית קבועה כפול הזמן:\(L=v_xt_1=20.6\cdot1.85\approx38.0\ \text{m}\)
4. זמן הנפילה מהגובה החדש, מ-\(H_2=\tfrac{1}{2}gt_2^2\):\(t_2=\sqrt{\frac{2\cdot16.1}{10}}\approx1.80\ \text{s}\)
אותו L בזמן קצר יותר:\(v_{x2}=\frac{L}{t_2}=\frac{38.0}{1.80}\approx21.2\ \text{m/s}\)
שימו לב: הכידון נופל פחות זמן, ולכן כדי להגיע לאותו L הוא צריך מהירות אופקית גדולה יותר.
השרטוט לא בקנה מידה
סעיף ה
זווית הפגיעה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: קבעו, בלי חישוב, אם זווית הפגיעה בהטלה השנייה קטנה, גדולה או שווה לזווית בהטלה הראשונה.
כדי לשרטט פרבולה צריך 3 פרטי מידע, ובשתי ההטלות אנחנו יודעים את שלושתם: 1. מיקום הפגיעה: בשתיהן אותה נקודה, L.
2. המיקום האנכי של שיא הגובה: בראשונה \(H\), ובשנייה נמוך ממנו ב-\(1\ \text{m}\).
3. המשיק לפרבולה בשיא הגובה: אופקי בשתיהן, כי בשיא המהירות האנכית 0.
לכן אפשר לשרטט את שתי הפרבולות. גם בלי שרטוט מדויק ברור שהשנייה שטוחה יותר מהראשונה, ולכן זווית הפגיעה בהטלה השנייה קטנה יותר.
שימו לב: בדיקה: \(v_{y2}=\sqrt{2gH_2}=\sqrt{2\cdot10\cdot16.1}\approx18.0\ \text{m/s}\), ולכן \(\tan^{-1}\frac{18.0}{21.2}\approx40.3^\circ\), פחות מ-\(42^\circ\).
