חץ הנתון בקשת דרוכה מכוון אופקית ימינה, לעבר תפוח המוחזק במנוחה. החץ והתפוח נמצאים בגובה \( 1.8\ \mathrm{m} \) מעל הקרקע. המרחק האופקי בין החץ לתפוח הוא \( 6\ \mathrm{m} \). ברגע \( t=0 \) החץ נורה מן הקשת במהירות אופקית שגודלה \( 20\ \mathrm{m/s} \), ובו-זמנית שוחרר התפוח ממנוחה. יש להזניח את השפעת האוויר, ולהתייחס לחץ ולתפוח כאל גופים נקודתיים.
א. החץ עובר את המרחק האופקי לפני שהתפוח פוגע בקרקע
זמן נפילת התפוח לקרקע (נפילה חופשית מגובה \( 1.8\ \mathrm{m} \)):
$$ 1.8 = \tfrac12 g t^2 \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2\times1.8}{10}} = 0.6\ \mathrm{s} $$
זמן שלוקח לחץ לעבור את המרחק האופקי \( 6\ \mathrm{m} \) (מהירותו האופקית קבועה, \( 20\ \mathrm{m/s} \)):
$$ t = \frac{6}{20} = 0.3\ \mathrm{s} $$
החץ מגיע לתפוח אחרי \( 0.3\ \mathrm{s} \), הרבה לפני שהתפוח מגיע לקרקע אחרי \( 0.6\ \mathrm{s} \).
ב. הסבר מדוע החץ פוגע בתפוח
לחץ ולתפוח אותה תנועה אנכית: מתחילים באותו גובה, בלי מהירות אנכית, ובאותה תאוצה \( g \) כלפי מטה. לכן בכל רגע שניהם ירדו אותו מרחק \( \tfrac12 gt^2 \) מגובה ההתחלה, והם תמיד באותו גובה. כשהחץ מגיע למרחק האופקי של התפוח (סעיף א), הוא פוגע בו.
ג. מהירות החץ ברגע הפגיעה בתפוח
הפגיעה מתרחשת ב-\( t=0.3\ \mathrm{s} \). הרכיב האופקי של מהירות החץ קבוע:
$$ v_x = 20\ \mathrm{m/s} $$
הרכיב האנכי (כלפי מטה, נצבר מרגע הירי):
$$ v_y = gt = 10\times0.3 = 3\ \mathrm{m/s} $$
גודל המהירות:
$$ v = \sqrt{20^2+3^2} \approx 20.2\ \mathrm{m/s} $$
הכיוון: הטנגנס של הזווית מתחת לאופק:
$$ \tan\theta = \frac{3}{20} = 0.15 $$
מוצאים את הזווית עם \( \tan^{-1} \). במחשבון: shift ואז tan, ואז 0.15:
$$ \theta = \tan^{-1}0.15 \approx 8.5^\circ $$
ד. מהירות זריקת התפוח כשהחץ נורה בשיפוע
הרכיב האופקי של מהירות החץ עדיין \( 20\ \mathrm{m/s} \), ולכן הוא מגיע למרחק \( 6\ \mathrm{m} \) שוב ב-\( t=0.3\ \mathrm{s} \). הגובה של החץ באותו רגע, מעל גובה הירי:
זורקים את התפוח למעלה במהירות \( 20\ \mathrm{m/s} \), בדיוק כמו הרכיב האנכי של מהירות החץ. זה כמו בסעיף ב: לתפוח ולחץ אותה מהירות אנכית התחלתית ואותה תאוצה, ולכן הם תמיד באותו גובה.
בגרות 2004 · שאלה 1
חץ ותפוח
חץ נורה אופקית לעבר תפוח, ובאותו רגע התפוח משתחרר ונופל. נראה שהחץ פוגע בתפוח, נבין למה, ונחשב את מהירות הפגיעה. בסוף, החץ נורה באלכסון והתפוח נזרק למעלה.
זריקה אופקיתנפילה חופשיתפירוק לרכיביםזריקה משופעת
הנתונים
מה קורה ב-t=0?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: חץ בקשת מכוון אופקית לעבר תפוח המוחזק במנוחה, שניהם בגובה \(1.8\ \text{m}\) מעל הקרקע ובמרחק \(6\ \text{m}\) זה מזה. ברגע \(t=0\) החץ נורה, ובו זמנית התפוח משתחרר. מה סוג התנועה של כל אחד?
1. החץ: נורה אופקית במהירות \(20\ \text{m/s}\). זו זריקה אופקית: במהירות קבועה בציר האופקי, ובנפילה חופשית בציר האנכי.
2. התפוח: משתחרר ממנוחה. זו נפילה חופשית בלבד, בתאוצה \(g=10\ \text{m/s}^2\).
לשניהם אותה תנועה אנכית: מתחילים מאותו גובה, בלי מהירות אנכית, באותה תאוצה.
סעיף א
מי מגיע קודם?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: הראו שהחץ עובר את המרחק האופקי עד לתפוח לפני שהתפוח פוגע בקרקע.
1. זמן הנפילה של התפוח. משתמשים במשוואת המקום בציר האנכי. הכיוון החיובי כלפי מטה, והראשית בגובה ההתחלה. התפוח מתחיל ממנוחה:\(y=y_0+v_{0y}\,t+\tfrac{1}{2}g\,t^2\)\(1.8=0+0+\tfrac{1}{2}\cdot10\,t^2\)\(t=\sqrt{0.36}=0.6\ \text{s}\)
2. הזמן שהחץ עובר 6 מטר. משתמשים במשוואת המקום בציר האופקי, במהירות קבועה:\(x=x_0+v_x\,t\)\(6=0+20\,t\)\(t=\frac{6}{20}=0.3\ \text{s}\)
החץ מגיע לתפוח אחרי \(0.3\ \text{s}\), לפני שהתפוח מגיע לקרקע אחרי \(0.6\ \text{s}\).
סעיף ב
למה החץ פוגע בתפוח?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: הסבירו מדוע החץ פוגע בתפוח.
1. לחץ ולתפוח אותה תנועה אנכית: מתחילים באותו גובה, בלי מהירות אנכית, ובאותה תאוצה \(g\) כלפי מטה.
2. לכן בכל רגע שניהם ירדו אותו מרחק מגובה ההתחלה, והם תמיד באותו גובה:\(\Delta y=\tfrac{1}{2}gt^2\)
כשהחץ מגיע ל-\(x=6\ \text{m}\), ב-\(t=0.3\ \text{s}\), הוא באותו גובה כמו התפוח, ולכן פוגע בו.
סעיף ג
באיזו מהירות החץ פוגע?
מההתחלההצג פתרון
שאלה: חשבו את המהירות (גודל וכיוון) שבה החץ פוגע בתפוח.
1. הרכיב האופקי. אין תאוצה אופקית, ולכן המהירות האופקית לא משתנה:\(v_x=v_{0x}=20\ \text{m/s}\)
2. הרכיב האנכי. משתמשים בנוסחת המהירות בציר האנכי: מהירות התחלתית ועוד תאוצה כפול זמן. עד הפגיעה עוברות 0.3 שניות:\(v_y=v_{0y}+g\,t\)\(v_y=0+10\cdot0.3=3\ \text{m/s}\)
גודל המהירות, לפי פיתגורס:\(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\)\(v=\sqrt{20^2+3^2}\approx20.2\ \text{m/s}\)
4. הכיוון: הטנגנס של הזווית מתחת לאופק:\(\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{3}{20}=0.15\)
מוצאים את הזווית עם \(\tan^{-1}\). במחשבון: shift ואז tan, ואז 0.15:\(\theta=\tan^{-1}0.15\approx8.5^\circ\)
סעיף ד
חץ באלכסון, תפוח למעלה
מההתחלההצג פתרון
שאלה: עכשיו החץ נורה כך שרכיב המהירות האופקי \(20\ \text{m/s}\) והאנכי \(20\ \text{m/s}\) כלפי מעלה. ברגע הירי זורקים את התפוח אנכית למעלה. באיזו מהירות צריך לזרוק אותו כדי שהחץ יפגע בו?
1. הרכיב האופקי של החץ לא השתנה, ולכן הוא מגיע ל-\(x=6\ \text{m}\) שוב אחרי \(t=0.3\ \text{s}\).
2. הגובה של החץ באותו רגע, מעל גובה הירי. הכיוון החיובי כלפי מעלה, והראשית בגובה הירי. משתמשים במשוואת המקום בציר האנכי, עם המהירות האנכית ההתחלתית של החץ:\(y=y_0+v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^2\)\(y=0+20\cdot0.3-\tfrac{1}{2}\cdot10\cdot0.3^2\)\(y=6-0.45=5.55\ \text{m}\)
3. התפוח צריך להיות באותו גובה באותו רגע. אותה משוואה, עם מהירות הזריקה של התפוח:\(y=y_0+v_0\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^2\)\(5.55=0+v_0\cdot0.3-0.45\)\(v_0=\frac{6}{0.3}=20\ \text{m/s}\)
זורקים את התפוח ב-\(20\ \text{m/s}\) למעלה, בדיוק כמו הרכיב האנכי של החץ.
שימו לב: זה כמו בסעיף ב: לתפוח ולחץ אותה מהירות אנכית התחלתית ואותה תאוצה, ולכן הם תמיד באותו גובה.
סיכום
מה למדנו מהשאלה
ציר אופקי של החץ\(x=v_xt\)
ציר אנכי, בלי מהירות התחלתית\(\Delta y=\tfrac{1}{2}gt^2\)
ציר אנכי, עם מהירות התחלתית\(\Delta y=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2\)
גודל המהירות\(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\)
כיוון המהירות\(\tan\theta=v_y/v_x\)
טעויות נפוצות
לחשוב שהחץ עובר מעל התפוח. החץ נופל בדיוק כמו התפוח, כי לשניהם אותה תאוצה.
לשכוח את הזמן המשותף. את הזמן מוצאים מהציר האופקי, ומציבים אותו בציר האנכי.
לחבר את רכיבי המהירות כמספרים.\(20+3\neq v\). משתמשים בפיתגורס.
