בגרות – מכשיר למדידת מסות קטנות (מוט בתוך סולנואיד)
פתרון: בגרות קיץ תשפ"ב 2022, חשמל ומגנטיות (שאלון 36371), שאלה 5
מכשיר למדידת מסה של גופים קטנים מאוד, מבוסס על סולנואיד (אורך \( L=25\ \mathrm{cm}=0.25\ \mathrm{m} \), \( N=2500 \) כריכות) שבתוכו נכנס תיל מוליך \( ab \) (אורכו \( ab=2.8\ \mathrm{cm}=0.028\ \mathrm{m} \)), התלוי כחלק מלוח קשיח מבודד החופשי לנוע סביב ציר \( MN \). התיל \( ab \) והסולנואיד מחוברים בטור למקור מתח אידיאלי \( f \), נגד משתנה \( R \) ואמפרמטר אידיאלי.
לאחר סגירת המפסק, מניחים על הלוח, בזה אחר זה, טבעות קטנות זהות (מסת כל טבעת \( m_0 \)), ובכל פעם מכוונים את הנגד המשתנה כך שהזרם \( I \) יגדל בדיוק כמה שצריך כדי שהכוח המגנטי הפועל על התיל \( ab \) יאזן את משקל הטבעות ויחזיר את הלוח למצב האופקי.
נתוני הניסוי (\( K \) = מספר הטבעות שהונחו):
|
K |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
I (A) |
4.0 |
5.0 |
6.5 |
7.5 |
8.5 |
|
I² (A²) |
16.0 |
25.0 |
42.3 |
56.3 |
72.3 |
א. כיוון השדה המגנטי בסולנואיד
לפי כלל הבורג (יד ימין) על כיוון הזרם הזורם בכריכות הסולנואיד (כפי שמתואר בתרשים המקורי): כיוון השדה המגנטי הנוצר בתוך הסולנואיד הוא משמאל לימין.
ב. גודל הכוח המגנטי הפועל על התיל ab
השדה בתוך סולנואיד ארוך: \( B=\mu_0\dfrac{N}{L}I \). מכיוון שאותו זרם \( I \) עובר גם בסולנואיד וגם בתיל \( ab \) (מעגל טורי), הכוח על התיל הוא:
$$ F_B = B\cdot I\cdot ab = \mu_0\frac{N}{L}\,ab\,I^2 $$
ג. ריבוע הזרם כתלות במספר הטבעות K
איזון הכוחות בכל שלב: הכוח המגנטי משווה למשקל \( K \) הטבעות שהונחו:
$$ \mu_0\frac{N}{L}\,ab\,I^2 = K\,m_0 g \quad\Longrightarrow\quad I^2 = \frac{m_0 g L}{\mu_0 N\, ab}\cdot K $$
כלומר \( I^2 \) הוא פונקציה ליניארית של \( K \), העוברת (בקירוב) דרך הראשית.
ד. דיאגרמת כוחות וקו מגמה
(1) יש לשרטט על הלוח את משקל הטבעות (כלפי מטה) ואת הכוח המגנטי \( F_B \) הפועל על התיל \( ab \) (כלפי מעלה, משמאל).
(2) על גבי נקודות הטבלה (\( K,\,I^2 \)) יש לשרטט קו מגמה ישר.
ה. חישוב מסת הטבעת \( m_0 \)
רגרסיה לינארית על חמש נקודות הטבלה נותנת קו מגמה:
$$ I^2 = 14.39\,K - 0.79\quad(\mathrm{A^2}) $$
משווים את השיפוע לביטוי בסעיף ג':
$$ \frac{m_0 g L}{\mu_0 N\, ab} = 14.39 \quad\Longrightarrow\quad m_0 = \frac{14.39\times\mu_0\times N\times ab}{g\times L} $$
$$ m_0 = \frac{14.39\times(4\pi\times10^{-7})\times 2500\times 0.028}{10\times 0.25} \approx 5.06\times10^{-4}\ \mathrm{kg} = 0.506\ \mathrm{g} $$
ו. האם המכשיר עובד גם אם הופכים את קטביות מקור המתח?
כן. אם מחליפים את קטביות מקור המתח, כיוון הזרם בתיל \( ab \) מתחלף, אך גם כיוון השדה המגנטי בתוך הסולנואיד מתחלף (מאותה סיבה - הזרם בסולנואיד הוא אותו זרם שהתחלף כיוונו). מכיוון שהכוח \( \vec{F}=I\vec{L}\times\vec{B} \) תלוי בשני הגורמים גם יחד, וכיוון שניהם התחלף בו-זמנית, כיוון הכוח המגנטי הפועל על התיל נשאר אותו הדבר (כלפי מעלה) - ולכן המכשיר ימשיך לעבוד באותה צורה ולמדוד מסות בצורה תקינה.