משפט עבודה אנרגיה

משפט עבודה אנרגיה אומר דבר פשוט - האנרגיה בהתחלה ועוד האנרגיה שהוספנו שווה לאנרגיה בסוף. "עבודה" היא פשוט האנרגיה שהוספנו (או הורדנו) בתהליך.

למשל, אם התחלנו עם אנרגיה קינטית 10 והוספנו עבודה בגודל 2 נסיים עם אנרגיה קינטית 12.

לדוגמא, אנרגיית מהירות מוחלפת לאנרגיית חום בעזרת חיכוך קינטי.

או אנרגיית גובה מוחלפת לאנרגיית חום ואנרגייה אלסטית.

נהוג לרשום את משפט עבודה ואנרגיה כך:

$$ E_i + W = E_f $$

והנוסחה שמקשרת בין כוח לבין העבודה שהכוח מייצר נרשמת כך:

$$ W = \int_0^l F \cdot dx $$

כלומר, העבודה שווה לאינטגרל על הכוח לאורך דרך, כאשר המכפלה הסקלרית מציינת שאנו לוקחים את רכיב הכוח לכיוון הדרך. במקרה שהכוח קבוע לאורך הדרך אפשר כמובן לפשט את האינטגרל למכפלה.

נבחן 3 דוגמאות חשובות:

1 - עבודת כוח חיכוך:

עבודת החיכוך נפוצה מאוד בתרגילים. הכוח אינו תלוי במיקום ולכן נפשט את האינטגרל למכפלה. כוח החיכוך מנוגד לתנועה ולכן הוא בסימן מינוס. עבודת החיכוך תהיה אם כן:

$$ W_f = -\mu N l $$

כלומר, מקדם החיכוך כפול הנורמל כפול הדרך שעבר הגוף. סימן המינוס מציין שעבודת חיכוך תמיד תקטין את האנרגיה של המערכת (ניתן לומר שעבודת החיכוך הופכת את האנרגיה לאנרגיית חום).

2 - עבודה של כוח לא ידוע:

לפעמים איננו יודעים בדיוק מהו הכוח שפעל, אבל עדיין אפשר למצוא את העבודה שהוא ביצע - פשוט על ידי השוואת האנרגיה הקינטית לפני ואחרי.

לדוגמא: כדור נזרק לעבר קיר במהירות \( v_1 \), ופוגע בו. בזמן הפגיעה הקיר מפעיל על הכדור כוח שאנחנו לא יודעים בדיוק כמה הוא גדול ואיך הוא משתנה במהלך הפגיעה (זה קורה מהר מאוד ובאופן מסובך). הכדור חוזר מהקיר במהירות \( v_2 \), הקטנה ממהירות הפגיעה המקורית.

למרות שאיננו יודעים את הכוח עצמו, אנחנו כן יודעים את האנרגיה הקינטית של הכדור לפני הפגיעה ואחריה - וזה מספיק כדי למצוא את העבודה שהקיר ביצע על הכדור:

$$ W_{wall} = E_{f} - E_{i} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 $$

מכיוון שמהירות היציאה קטנה ממהירות הכניסה, הביטוי הזה יוצא שלילי - כלומר הקיר ביצע עבודה שלילית על הכדור (הוא "לקח" ממנו אנרגיה קינטית). כמות האנרגיה שאבדה לא נעלמה - היא הפכה לחום (ולפעמים גם לצליל ולעיוות זמני של הכדור והקיר), בכמות:

$$ Q = |W_{wall}| = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{1}{2}mv_2^2 $$

3 - כוחות משמרים:

כוחות משמרים (משמע משמרים אנרגיה) אינם מבצעים עבודה, לכן משפט עבודה אנרגיה הופך להיות פשוט משפט שימור אנרגיה:

$$ E_i + \cancel{W} = E_f $$