זריקה בזווית

מכניקה קינמטיקה בשני מימדים זריקה בזווית

בתהליך

כאשר גוף נזרק במהירות התחלתית $ v_0 $ בזווית $ \theta $ מעל האופק, ניתן לחלק את התנועה לרכיבים אופקיים ואנכיים בלתי-תלויים.

רכיבי המהירות ההתחלתית:

$$ v_{0x} = v_0 \cos\theta \qquad v_{0y} = v_0 \sin\theta $$

תנועה אופקית (x) - מהירות קבועה, ללא תאוצה:

$$ x(t) = v_{0x}\cdot t $$

תנועה אנכית (y) - כמו בזריקה אנכית רגילה, עם תאוצה $ g $ כלפי מטה:

$$ y(t) = v_{0y}\cdot t - \tfrac12 g t^2 \qquad v_y(t) = v_{0y} - gt $$

זמן השהייה באוויר (עד לחזרה לאותו גובה שממנו נזרק):

$$ t_{total} = \frac{2v_0\sin\theta}{g} $$

טווח אופקי:

$$ R = v_{0x}\cdot t_{total} = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} $$

גובה מקסימלי:

$$ H_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g} $$

סיכום

המהירות האופקית קבועה לאורך כל התנועה - היא זו שקיבל הגוף ברגע הזריקה, ואינה משתנה. המהירות האנכית משתנה בקצב קבוע ($ g $): הולכת וקטנה בעלייה, מתאפסת בשיא המסלול, והופכת שלילית (כלפי מטה) בירידה - עד שבנקודת הנחיתה (אם היא באותו גובה שממנו נזרק הגוף) גודלה זהה לגודל המהירות האנכית ההתחלתית, רק בכיוון הפוך.

קינמטיקה בשני ממדים

זריקה בזווית

גוף נזרק במהירות התחלתית בזווית מעל האופק. נפרק את התנועה לשני צירים בלתי תלויים, ונמצא את זמן התנועה, את הטווח ואת הגובה המקסימלי.

פירוק לרכיביםמהירות קבועה באופקיזריקה אנכיתטווח וגובה מקסימלי

שלב 1

פירוק המהירות ההתחלתית

מההתחלההצג פתרון

שאלה: גוף נזרק במהירות $v_0=20\ \text{m/s}$ בזווית $\theta=60^\circ$ מעל האופק. מה רכיבי המהירות ההתחלתית?

1. הרכיב האופקי: הצלע שליד הזווית, ולכן קוסינוס:$v_{0x}=v_0\cos\theta$

2. הרכיב האנכי: הצלע שמול הזווית, ולכן סינוס:$v_{0y}=v_0\sin\theta$

מציבים:$v_{0x}=20\cos60^\circ=10,\quad v_{0y}=20\sin60^\circ\approx17.3\ \text{m/s}$

שלב 2

התנועה האופקית

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מה קורה לרכיב האופקי של המהירות במהלך התנועה?

1. אחרי הזריקה פועל רק כוח הכובד, כלפי מטה. אין כוח אופקי, ולכן אין תאוצה אופקית.

2. המהירות האופקית קבועה, ובכל חצי שנייה הגוף מתקדם $10\cdot0.5=5\ \text{m}$:$x=v_{0x}\,t$

באופקי: תנועה במהירות קבועה, $v_x=v_{0x}$ לאורך כל התנועה.

שלב 3

התנועה האנכית

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מה קורה לרכיב האנכי של המהירות?

1. הרכיב האופקי קבוע בכל הנקודות (חצים כחולים).

2. אנכית: זריקה למעלה ב-$v_{0y}$ עם תאוצה $g$ כלפי מטה, בדיוק כמו בזריקה אנכית:$v_y=v_{0y}-gt,\quad y=v_{0y}t-\tfrac12gt^2$

בשיא המסלול $v_y=0$, ולכן זמן העלייה:$t=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{17.3}{10}\approx1.73\ \text{s}$

שלב 4

זמן התנועה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: כמה זמן הגוף באוויר, עד שהוא חוזר לגובה שממנו נזרק?

1. חוזר לגובה הזריקה כש-$y=0$:$v_{0y}t-\tfrac12gt^2=0\ \Rightarrow\ t\left(v_{0y}-\tfrac12gt\right)=0$

2. הפתרון $t=0$ הוא רגע הזריקה. הפתרון השני:$t=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}$

מציבים:$t=\frac{2\cdot17.3}{10}\approx3.46\ \text{s}$

שימו לב: זה פי 2 מזמן העלייה לשיא: זמן העלייה שווה לזמן הירידה.

שלב 5

הטווח

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מהו המרחק האופקי שהגוף עובר עד שהוא חוזר לגובה הזריקה?

1. מהירות אופקית קבועה כפול זמן התנועה:$R=v_{0x}\cdot t=10\cdot3.46\approx34.6\ \text{m}$

2. בכתיבה כללית, לפי $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$:$R=v_0\cos\theta\cdot\frac{2v_0\sin\theta}{g}=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$

שימו לב: $\sin2\theta$ הכי גדול כש-$2\theta=90^\circ$, כלומר ב-$\theta=45^\circ$. בזריקה ב-$30^\circ$ מקבלים $R=\frac{20^2\sin60^\circ}{10}\approx34.6\ \text{m}$, אותו טווח כמו ב-$60^\circ$.

שלב 6

הגובה המקסימלי

מההתחלההצג פתרון

שאלה: לאיזה גובה מקסימלי הגוף מגיע?

1. אנכית, נוסחה בלי זמן. בשיא $v_y=0$:$0=v_{0y}^2-2gH$

לכן:$H=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{17.3^2}{2\cdot10}\approx15\ \text{m}$

שימו לב: הגובה תלוי רק ברכיב האנכי. הרכיב האופקי לא משפיע עליו.

ניסוי

משנים מהירות וזווית

מההתחלההצג פתרון

שאלה: שנו את המהירות ואת הזווית. באיזו זווית הטווח הכי גדול? אילו שתי זוויות נותנות אותו טווח?

1. הגדילו את הזווית: הגובה המקסימלי גדל, כי $v_{0y}$ גדל.

2. הטווח הכי גדול בזווית $45^\circ$.

זוויות שסכומן $90^\circ$ נותנות אותו טווח, למשל $30^\circ$ ו-$60^\circ$.

סיכום

מה למדנו מהשאלה

רכיבי המהירות$v_{0x}=v_0\cos\theta,\ v_{0y}=v_0\sin\theta$

אופקי$x=v_{0x}t$

אנכי$y=v_{0y}t-\tfrac12gt^2$

זמן התנועה$t=\frac{2v_{0y}}{g}$

טווח$R=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$

גובה מקסימלי$H=\frac{v_{0y}^2}{2g}$

טעויות נפוצות

לחשוב שבשיא המהירות אפס. רק הרכיב האנכי אפס. הרכיב האופקי נשאר.

להחליף סינוס וקוסינוס. קוסינוס לצלע שליד הזווית (האופקית), סינוס לצלע שמולה.

להשתמש בנוסחת הטווח כשהנחיתה בגובה אחר. היא נכונה רק כשחוזרים לגובה הזריקה.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←