בגרות – כוח קפיץ

פתרון: בגרות קיץ תשס"ח 2008, מכניקה (שאלון 917531+653), שאלה 5

לרשות תלמיד שני קפיצים: קפיץ א (קבוע כוח \( k_a=100\ \mathrm{N/m} \)) וקפיץ ב (קבוע כוח \( k_b=50\ \mathrm{N/m} \)). מסות הקפיצים ניתנות להזנחה.

א. משמעות קבוע הכוח \( k=100\ \mathrm{N/m} \)

המשמעות היא שכדי למתוח (או לכווץ) את הקפיץ ב-1 מטר מעבר למצבו הרפוי, יש להפעיל עליו כוח של 100 ניוטון - כלומר, לפי חוק הוק \( F=kx \), \( k \) הוא היחס הקבוע בין גודל הכוח המופעל על הקפיץ לבין גודל השינוי באורכו כתוצאה מכך.

ב. התארכות קפיץ א כששני תלמידים מושכים בקצוותיו

שני תלמידים מושכים כל אחד בקצה אחר בכוח \( 50\ \mathrm{N} \) - זהה מבחינת הקפיץ למצב שבו קצה אחד מקובע וקצה שני נמשך בכוח \( 50\ \mathrm{N} \) (כוח המתיחה בקפיץ הוא \( 50\ \mathrm{N} \) לכל אורכו):

$$ x=\frac{F}{k_a}=\frac{50}{100}=0.5\ \mathrm{m} $$

ג. שני קפיצים בטור

קפיץ א קשור בקצה אחד לקיר, ובקצה השני לקפיץ ב; הקצה החופשי של קפיץ ב נמשך בכוח \( 25\ \mathrm{N} \).

(1) מכיוון שמסת הקפיצים זניחה, הכוח השקול על כל קפיץ (ועל נקודת החיבור ביניהם) חייב להיות אפס - ולכן הכוח המועבר דרך שני הקפיצים (בכל אחד מארבעת הקצוות) זהה בגודלו לכוח החיצוני המופעל: 25 ניוטון בכל קצה, בשני הקפיצים כאחד.

(2) התארכות כל קפיץ לפי חוק הוק, עם הכוח המשותף \( 25\ \mathrm{N} \):

$$ x_a=\frac{25}{100}=0.25\ \mathrm{m}\qquad x_b=\frac{25}{50}=0.5\ \mathrm{m} $$

ד. מסלול ABCD - האם התיבה מגיעה לקפיץ ב, ומהו הכיווץ המרבי שלו

מסלול חלק (חסר חיכוך) ABCD: הקטעים AB ו-CD אופקיים, וגובה CD מעל AB הוא \( 0.2\ \mathrm{m} \). קפיץ א מונח על AB (קשור ב-A), קפיץ ב מונח על CD (קשור ב-D). מכווצים את קפיץ א ב-\( 0.2\ \mathrm{m} \), מצמידים אליו תיבה שמסתה \( m=0.4\ \mathrm{kg} \), ומשחררים ממנוחה.

האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית האגורה בקפיץ א דחוס:

$$ E_{\text{קפיץ}}=\frac{1}{2}k_a x^2=\frac{1}{2}\times100\times0.2^2=2\ \mathrm{J} $$

כל אנרגיה זו הופכת לאנרגיה קינטית של התיבה (מסלול חלק, בלי איבוד אנרגיה). כדי להגיע לגובה CD, על התיבה להתגבר על הפרש האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית:

$$ E_p=mgh=0.4\times10\times0.2=0.8\ \mathrm{J} $$

מכיוון ש-\( E_{\text{קפיץ}}=2\ \mathrm{J} > E_p=0.8\ \mathrm{J} \), התיבה אכן מגיעה לגובה CD, ובכך גם לקפיץ ב (בהמשך המסלול האופקי על CD, ללא חיכוך, כך שכל האנרגיה הנותרת נשארת כאנרגיה קינטית עד ההתנגשות בקפיץ ב).

האנרגיה הקינטית של התיבה ברגע ההגעה לקפיץ ב:

$$ E_k=E_{\text{קפיץ}}-E_p=2-0.8=1.2\ \mathrm{J} $$

ברגע הכיווץ המרבי של קפיץ ב, התיבה נעצרת רגעית - וכל האנרגיה הקינטית הופכת לאנרגיה פוטנציאלית אלסטית בקפיץ ב:

$$ \frac{1}{2}k_b x_b^2=1.2\quad\Longrightarrow\quad x_b=\sqrt{\frac{2\times1.2}{50}}=\sqrt{0.048}\approx0.22\ \mathrm{m} $$