בגרות – חיכוך על משטח אופקי
פתרון: בגרות קיץ תשפ"ד 2024, מכניקה (שאלון 036361+נספח), שאלה 2
תיבה במסה m מונחת על משטח אופקי מחוספס, עם מקדם חיכוך \( \mu \). התיבה קשורה בחוט שעובר דרך גלגלת, והתלמידה מושכת את קצה החוט כלפי מטה בכוח F.
א. תרשים כוחות על התיבה
- המשקל \( mg \), כלפי מטה. מופעל על ידי כדור הארץ.
- הכוח הנורמלי N, כלפי מעלה. מופעל על ידי המשטח.
- מתיחות החוט T, אופקית לכיוון הגלגלת. מופעלת על ידי החוט. החוט והגלגלת חסרי מסה וחיכוך, ולכן \( T = F \).
- כוח החיכוך f, אופקי ומנוגד לכיוון התנועה (הרחק מהגלגלת). מופעל על ידי המשטח.
ב. ביטוי לתאוצה כפונקציה של F
בכיוון האנכי אין תנועה, ולכן \( N = mg \) וכוח החיכוך הקינטי הוא \( f = \mu m g \). בכיוון האופקי:
$$ F - \mu m g = m a \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{1}{m}\,F - \mu g $$
זה קו ישר: השיפוע הוא \( 1/m \), והחיתוך עם ציר a הוא \( -\mu g \).
ג. דיאגרמת פיזור וקו מגמה
משרטטים את חמש הנקודות מהטבלה ומעבירים קו ישר שעובר הכי קרוב לכל הנקודות (ראו הגרף למטה).
ד. המסה ומקדם החיכוך
(1) המסה. שתי נקודות על קו המגמה: \( (3.5,\ 1.89) \) ו-\( (5.5,\ 4.97) \).
$$ \text{slope} = \frac{4.97 - 1.89}{5.5 - 3.5} = \frac{3.08}{2} = 1.54\ \mathrm{kg^{-1}} $$
$$ \frac{1}{m} = 1.54 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{1}{1.54} \approx 0.65\ \mathrm{kg} $$
(2) מקדם החיכוך. מציבים נקודה מהקו במשוואה, למשל \( (3.5,\ 1.89) \):
$$ 1.89 = 1.54 \cdot 3.5 - \mu \cdot 10 \quad\Longrightarrow\quad 10\mu = 5.39 - 1.89 = 3.5 \quad\Longrightarrow\quad \mu = 0.35 $$
ה. התאוצה כשהכוח F = 1.5 N
התאוצה היא אפס. התיבה לא זזה.
כדי שהתיבה תתחיל לנוע, F צריך להיות גדול מכוח החיכוך הסטטי המקסימלי:
$$ f_{max} = \mu m g = 0.35 \cdot 0.65 \cdot 10 \approx 2.3\ \mathrm{N} $$
הכוח 1.5 N קטן מ-2.3 N, ולכן כוח החיכוך הסטטי מאזן אותו (\( f = 1.5\ \mathrm{N} \)), הכוח השקול אפס, והתיבה נשארת במנוחה. בגרף רואים את זה כך: קו המגמה חותך את ציר F ב-F≈2.3 N. לכוח קטן מזה הנוסחה מסעיף ב הייתה נותנת תאוצה שלילית, וזה לא אפשרי, כי החיכוך לא יכול להזיז את התיבה לכיוון ההפוך.
המשך הקו חותך את ציר F ב-F≈2.3 N. זה כוח החיכוך המקסימלי. מתחת לכוח הזה התיבה לא זזה, ולכן בכוח F=1.5 N התאוצה אפס.