הספק מקסימלי של בטריה

חשמל חישובי זרם התנגדות והספק הספק מקסימלי של בטריה

בתהליך

הספק מקסימלי של בטריה

לכל בטריה יש מתח $\varepsilon$ והתנגדות פנימית $r$. כשמחברים אליה נורה בעלת התנגדות $R$, מתח ההדקים הוא

$$V=\varepsilon-Ir$$

נורה חלשה מאירה חלש, אבל גם נורה חזקה מדי מאירה חלש: היא דורשת זרם גדול, וכמעט כל המתח נופל בתוך הבטריה. ההספק של הנורה מקסימלי כאשר $R=r$, וערכו

$$P_{max}=\frac{\varepsilon^2}{4r}$$

תרגיל

מד מתח שמחובר להדקים של בטריה מראה 9 וולט. מד זרם שמחובר להדקים לרגע מראה 3 אמפר.

א. מה המתח וההתנגדות הפנימית של הבטריה?

ב. מה צריכה להיות ההתנגדות של נורה כדי שההספק שלה יהיה מקסימלי?

ג. מה ההספק המקסימלי?

מעגלים חשמליים

הספק מקסימלי של בטריה

לבטריה יש התנגדות פנימית. נמצא איך מודדים את נתוני הבטריה, ואיזו נורה תאיר הכי חזק כשמחברים אותה לבטריה.

מדידת נתוני הבטריההספק כפונקציה של הזרםהספק מקסימליתרגיל

השאלה

איזו נורה תאיר הכי חזק?

מההתחלההצג פתרון

1. לכל בטריה יש מתח $\varepsilon$ והתנגדות פנימית $r$. מחברים אליה נורה בעלת התנגדות $R$.

2. נורה חלשה תאיר חלש. אבל גם נורה חזקה מדי תאיר חלש: היא דורשת זרם גדול, וכשזרם גדול עובר בהתנגדות הפנימית, כמעט כל המתח נופל בתוך הבטריה.

השאלה: מה צריכה להיות ההתנגדות של הנורה כדי שההספק שלה יהיה מקסימלי?

המשוואה שנעבוד איתה: מתח ההדקים הוא המתח שהבטריה מעלה, פחות המתח שנופל בתוכה:$V=\varepsilon-Ir$

מדידה

מוצאים את נתוני הבטריה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: בעזרת מכשיר מדידה אחד ושתי מדידות קצרות, איך מוצאים את $\varepsilon$ ואת $r$?

1. מדידה ראשונה: מחברים מד מתח להדקים. למד מתח יש התנגדות עצומה, ולכן כמעט אין זרם. המכשיר הראה 1.5 וולט:$V=\varepsilon-Ir$$1.5=\varepsilon-0\cdot r$$\varepsilon=1.5\ \text{V}$

2. מדידה שנייה: מחברים מד זרם להדקים, לרגע קצר. למד זרם אין התנגדות, ולכן המתח על ההדקים הוא אפס. זה זרם הקצר, והמכשיר הראה 0.75 אמפר:$V=\varepsilon-I_{sc}r$$0=1.5-0.75\cdot r$$r=\frac{1.5}{0.75}=2\ \Omega$

נתוני הבטריה:$\varepsilon=1.5\ \text{V},\quad r=2\ \Omega$

שימו לב: זרם קצר הוא הזרם הגדול ביותר שהבטריה יכולה לתת. בבטריה חזקה הוא מסוכן, ולכן מודדים אותו רק לרגע.

הספק

ההספק כפונקציה של הזרם

מההתחלההצג פתרון

שאלה: איך ההספק של הנורה תלוי בזרם?

1. ההספק של הנורה הוא המתח עליה כפול הזרם. המתח על הנורה הוא מתח ההדקים:$P=VI$

2. אסור להתייחס ל-$V$ כקבוע: הוא תלוי בזרם. לכן מציבים את מתח ההדקים במפורש:$P=\left(\varepsilon-Ir\right)I$$P=\varepsilon I-rI^2$

זו פרבולה הפוכה. היא מתאפסת בזרם אפס, וגם בזרם הקצר שבו אין מתח על הנורה.

שימו לב: בגרף רואים את הבטריה שלנו: זרם הקצר הוא 0.75 אמפר, ושם ההספק אפס.

מקסימום

ההספק המקסימלי

מההתחלההצג פתרון

שאלה: באיזה זרם ההספק מקסימלי, מה ההספק הזה, ומה ההתנגדות של הנורה?

1. גוזרים לפי הזרם ומשווים לאפס:$\frac{dP}{dI}=\varepsilon-2rI=0$$I=\frac{\varepsilon}{2r}$

2. מציבים את הזרם הזה בנוסחת ההספק:$P_{max}=\varepsilon\cdot\frac{\varepsilon}{2r}-r\left(\frac{\varepsilon}{2r}\right)^2$$P_{max}=\frac{\varepsilon^2}{2r}-\frac{\varepsilon^2}{4r}=\frac{\varepsilon^2}{4r}$

3. ההתנגדות של הנורה. הזרם במעגל הוא:$I=\frac{\varepsilon}{R+r}=\frac{\varepsilon}{2r}$$R=r$

4. בבטריה שלנו:$P_{max}=\frac{1.5^2}{4\cdot2}=\frac{2.25}{8}\approx0.28\ \text{W}$$R=r=2\ \Omega$

ההספק מקסימלי כשההתנגדות של הנורה שווה להתנגדות הפנימית.$P_{max}=\frac{\varepsilon^2}{4r}$

גרף מתח-זרם

ההספק כשטח של מלבן

מההתחלההצג פתרון

1. גרף מתח ההדקים כפונקציה של הזרם הוא קו יורד:$V=\varepsilon-Ir$

2. לכל נקודה על הקו, ההספק הוא המתח כפול הזרם, כלומר השטח של המלבן שמתחת לנקודה. ליד הקצוות המלבן צר או נמוך, והשטח קטן.

3. המלבן הגדול ביותר נמצא באמצע: חצי מזרם הקצר וחצי מהמתח:$I=\frac{I_{sc}}{2},\quad V=\frac{\varepsilon}{2}$

אותה תשובה כמו בפרבולה: בהספק המקסימלי, חצי מהמתח נופל על הנורה וחצי בתוך הבטריה.

תרגיל

בטריה חדשה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מד מתח שמחובר להדקים של בטריה מראה 9 וולט. מד זרם שמחובר להדקים לרגע מראה 3 אמפר. א. מה המתח וההתנגדות הפנימית של הבטריה? ב. מה צריכה להיות ההתנגדות של נורה כדי שההספק שלה יהיה מקסימלי? ג. מה ההספק המקסימלי?

א. במד מתח הזרם אפס, ולכן הוא מראה את $\varepsilon$. במד זרם המתח אפס, וזה זרם הקצר:$V=\varepsilon-Ir$$\varepsilon=9\ \text{V}$$0=9-3r\ \Rightarrow\ r=3\ \Omega$

ב. ההספק מקסימלי כשההתנגדות של הנורה שווה להתנגדות הפנימית:$R=r=3\ \Omega$

ג. ההספק המקסימלי:$P_{max}=\frac{\varepsilon^2}{4r}$$P_{max}=\frac{9^2}{4\cdot3}=\frac{81}{12}=6.75\ \text{W}$

התשובות:$r=3\ \Omega,\quad R=3\ \Omega,\quad P_{max}=6.75\ \text{W}$

בדיקה: הזרם הוא חצי מזרם הקצר, והמתח על הנורה חצי מ-9 וולט:$I=\frac{9}{3+3}=1.5\ \text{A}$$P=I^2R=1.5^2\cdot3=6.75\ \text{W}$

סיכום

מה למדנו מהשאלה

מתח הדקים$V=\varepsilon-Ir$

הספק הנורה$P=\varepsilon I-rI^2$

מקסימום ב$R=r$

הספק מקסימלי$P_{max}=\tfrac{\varepsilon^2}{4r}$

טעויות נפוצות

להתייחס למתח כקבוע. מתח ההדקים תלוי בזרם, ולכן ההספק הוא פרבולה ולא קו ישר.

לחשוב שנורה חזקה יותר תמיד תאיר יותר. מעבר להתנגדות הפנימית, ההספק יורד.

לבלבל בין R ל-r. R היא הנורה, r היא ההתנגדות הפנימית של הבטריה.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←