בגרות – גרר במצנח

נפילה עם כוח גרר - צניחה ופתיחת מצנח

כוח גרר אינו חלק מחומר הלימוד הרשמי, אבל שאלות כאלה הופיעו בבגרות. לכן חשוב לדעת להתמודד עם שאלה על נושא שלא ראינו קודם, בעזרת הכלים שאנחנו כבר מכירים: גרף מהירות-זמן וחוקי ניוטון.

הצנחן והמצנח נחשבים גוף אחד. כלומר לא ישאלו על הכוח שהצנחן והמצנח מפעילים זה על זה.

על הצנחן פועלים שני כוחות: כוח הכובד (קבוע, \( mg \)) וכוח הגרר (התנגדות האוויר), שגדל ככל שהמהירות גדלה.

קריאת הגרף - כמה שווה כל משבצת

בציר הזמן, בין 0 ל-5 שניות יש 5 משבצות קטנות, ולכן כל משבצת ברוחב 1 שנייה. בציר המהירות, בין 0 ל-10 m/s יש 5 משבצות קטנות, ולכן כל משבצת בגובה 2 m/s.

בדיקת הגיון למספרים

• המהירות לפני פתיחת המצנח, \( 50\ \mathrm{m/s} \), היא \( 50\times3.6=180\ \mathrm{km/h} \). זו בערך המהירות הסופית של אדם בנפילה, כ-200 קמ"ש.
• המהירות אחרי פתיחת המצנח היא כ-\( 4-5\ \mathrm{m/s} \), כלומר כ-18 קמ"ש. במהירות כזו אפשר לנחות ולשרוד, בתנאי שיודעים להתקפל ולספוג את המכה. זו אותה מהירות כמו אחרי חצי שנייה של נפילה חופשית, כלומר בערך כמו קפיצה מגובה של מטר וקצת.

סעיף א׳ - תיאור התנועה לפני פתיחת המצנח (\( 0\le t\le 20\ \mathrm{s} \))

זו לא נפילה חופשית, כי יש חיכוך עם האוויר. השיפוע של הגרף (התאוצה) לא קבוע:

• המהירות עולה מ-0, עד שהיא מתייצבת על כ-\( 50\ \mathrm{m/s} \), המהירות הסופית.
• התאוצה מתחילה ב-\( g \) והולכת וקטנה (הגרף ממשיך לעלות, אבל פחות ופחות תלול), עד שהיא מגיעה לאפס.

מבחינת התחושה של הצנחן: בשניות הראשונות הוא מרגיש נפילה חופשית. אחרי שהוא מגיע למהירות הסופית, הוא כבר לא מרגיש תאוצה, אלא רק את הרוח.

סעיף ב׳ - הסיבה לשינוי הפתאומי (\( 20\lt t\lt 22\ \mathrm{s} \))

הצנחן פתח את המצנח. המצנח הוא משטח ענק שתופס המון אוויר, ולכן כוח הגרר גדל בבת אחת לערך גדול בהרבה ממשקל הצנחן. הכוח השקול מתהפך ומכוון כלפי מעלה, והוא בולם את הנפילה בחדות.

אחרי כ-22 שניות המהירות מתייצבת על מהירות סופית חדשה ונמוכה. שם כוח הגרר של המצנח הפתוח שווה שוב ל-\( mg \).

סעיף ג׳ - איך מחשבים את המרחק עד פתיחת המצנח

אי אפשר להשתמש בנוסחאות הקינמטיקה, כי הן נכונות רק לתאוצה קבועה, וכאן התאוצה משתנה. אבל המרחק הוא עדיין השטח מתחת לגרף המהירות-זמן, מ-\( t=0 \) עד \( t=20\ \mathrm{s} \).

הצורה מתחת לגרף אינה משולש או טרפז, ולכן סופרים משבצות. משבצת שהעקומה חוצה מעריכים בקירוב: חצי משבצת, שליש משבצת וכן הלאה. כל משבצת מייצגת שטח של:

$$ 1\ \mathrm{s}\times 2\ \mathrm{m/s} = 2\ \mathrm{m} $$

לכן המרחק הוא מספר המשבצות כפול 2 מטר. (לשם המחשה: יש כ-400 משבצות, כלומר כ-\( 800\ \mathrm{m} \). השאלה לא דורשת לחשב.)

סעיף ד׳ - הראה מהגרף ש-\( g\approx10\ \mathrm{m/s^2} \)

צריך להראות את זה מהגרף, ולא משיקולי כוחות (\( mg=ma \)).

ברגע הקפיצה המהירות אפס, ולכן גם כוח הגרר אפס, והצנחן בנפילה חופשית. התאוצה היא השיפוע של הגרף. מהגרף: בשנייה הראשונה המהירות עולה מ-0 לכ-\( 10\ \mathrm{m/s} \), כלומר הפרש המהירויות בשנייה הראשונה הוא 10:

$$ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{10-0}{1-0}=10\ \mathrm{m/s^2} $$

כך חישבנו את השיפוע ברגע הראשון, וקיבלנו \( g\approx10\ \mathrm{m/s^2} \). זה בדיוק מה שאומרת גם הנוסחה \( v=v_0+at \): הגוף התחיל ב-\( v_0=0 \) והגיע ל-\( v=10 \) אחרי \( t=1 \).

(היחידות: תאוצה היא מהירות חלקי זמן, כלומר מטר לשנייה בכל שנייה, \( \mathrm{m/s^2} \).)

סעיף ה׳ - האם הכוחות גדלים, קטנים או קבועים (\( 0\le t\lt 20\ \mathrm{s} \))

• כוח הכובד - נשאר קבוע. המסה וה-\( g \) לא משתנים.
• התנגדות האוויר - גדלה. בהתחלה היא אפס, כי המהירות אפס. ככל שהמהירות גדלה, ההתנגדות גדלה, עד שהיא משתווה לכוח הכובד.

אפשר גם לציין שמהרגע שהמהירות מתייצבת (בערך מ-13 עד 15 שניות) ההתנגדות נשארת קבועה. שתי התשובות מתקבלות.

סעיף ו׳ - הכוח השקול המקסימלי והמינימלי

לפי החוק השני של ניוטון, \( F=ma \), והתאוצה היא השיפוע של הגרף. לכן הכוח השקול גדול במקום שבו הגרף תלול, וקטן במקום שבו הגרף שטוח.

הכוח השקול המינימלי

בקטעים שבהם הגרף אופקי (בערך מ-15 עד 20 שניות, ומ-22 עד 55 שניות) המהירות קבועה. השיפוע של קו אופקי הוא אפס, ולכן התאוצה אפס, ולפי \( F=ma \) גם הכוח השקול אפס:

$$ F_{min}=0 $$

בקטעים האלה כוח הגרר שווה לכוח הכובד, והם מאזנים זה את זה.

הכוח השקול המקסימלי

השיפוע התלול ביותר בגרף הוא מיד אחרי פתיחת המצנח. מהגרף, בערך מ-20 עד 22 שניות המהירות יורדת מ-\( 50\ \mathrm{m/s} \) ל-\( 10\ \mathrm{m/s} \):

$$ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\approx\frac{10-50}{22-20}=-20\ \mathrm{m/s^2} $$ $$ F_{max}=m|a|\approx 80\times 20=1600\ \mathrm{N} $$

הכוח השקול מכוון כלפי מעלה (הוא מאט את הנפילה). הערך הוא קירוב, כי קשה לקרוא בדיוק את השיפוע בקטע התלול. מה שחשוב הוא הנימוק: הכוח השקול המקסימלי פועל ברגע פתיחת המצנח, שם השיפוע הכי תלול.

הרחבה - כמה כוח מפעיל המצנח?

1600 ניוטון הוא הכוח השקול, ולא כוח הגרר. על הצנחן פועל גם כוח הכובד \( mg=800\ \mathrm{N} \) כלפי מטה, ולכן כוח הגרר של המצנח (כלפי מעלה) הוא:

$$ f-mg=m|a| \quad\Rightarrow\quad f=1600+800=2400\ \mathrm{N} $$

זה כוח חזק, אבל הצנחן קשור ברתמה שמפזרת אותו על פני כל הגוף.