מהירות ותאוצה רגעית

מכניקה קינמטיקה במימד אחד מהירות ותאוצה רגעית

בתהליך

מהירות ממוצעת היא הדרך חלקי הזמן, \( \bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t} \), ובגרף מקום-זמן היא שיפוע המיתר בין שתי נקודות. מהירות רגעית היא המהירות הממוצעת בפרק זמן קצר מאוד, ובגרף מקום-זמן היא שיפוע המשיק לגרף באותו רגע. באותו אופן, תאוצה רגעית היא שיפוע המשיק לגרף מהירות-זמן.

קינמטיקה

מהירות ותאוצה רגעית

יוסיין בולט רץ 100 מטר ב-9.58 שניות (ברלין, 2009). מה הייתה המהירות שלו בכל רגע? נכיר את ההבדל בין מהירות ממוצעת למהירות רגעית, ונראה איך מוצאים אותן מגרף.

מהירות ממוצעתמיתרמשיקמהירות רגעיתתאוצה רגעית

פתיחה

האם בולט רץ כל הזמן באותה מהירות?

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: בולט רץ 100 m ב-9.58 s. האם הוא רץ כל הזמן ב-10.4 m/s?

1. המהירות הממוצעת על כל המרוץ:\(\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{100}{9.58}\approx10.4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)

2. מודדים את הזמן בכל 10 m ומחשבים מהירות ממוצעת לכל קטע. ב-10 המטרים הראשונים:\(\bar v=\frac{10}{1.89}\approx5.3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)

המסקנה: המהירות משתנה כל הזמן. מהירות ממוצעת על קטע ארוך "מסתירה" את השינויים. ככל שהקטע קצר יותר, אנחנו יודעים יותר על המהירות בכל רגע.

מהירות ממוצעת

מהירות ממוצעת בגרף: שיפוע המיתר

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: איפה רואים מהירות ממוצעת בגרף מקום-זמן?

1. בוחרים שני רגעים על הגרף, \(t_1=2\ \text{s}\) ו-\(t_2=6\ \text{s}\), ומחברים אותם בקו ישר. הקו נקרא מיתר.

2. שיפוע המיתר הוא בדיוק המהירות הממוצעת בין שני הרגעים:\(\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{56.5-10.9}{6-2}\approx11.4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\)

אבל: הגרף מתעקם. בתוך הקטע בולט רץ לפעמים לאט יותר ולפעמים מהר יותר מהממוצע.

נסו בעצמכם

מהמיתר אל המשיק

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: גררו את הנקודה הסגולה לעבר הנקודה הכתומה. מה קורה למיתר כש-\(\Delta t\) הולך וקטן?

1. הקו הכתום הוא המיתר, ושיפועו הוא המהירות הממוצעת בין שתי הנקודות.

2. כשמקרבים את הנקודות, המיתר מתקרב לקו המקווקו. הקו המקווקו נוגע בגרף בנקודה אחת בלבד, והוא נקרא משיק.

המהירות הרגעית היא השיפוע של המשיק: המהירות הממוצעת על פרק זמן קצר מאוד.

גררו את העיגולים

הגדרה

מהירות רגעית

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: מה בדיוק מראה מד המהירות במכונית?

1. מהירות ממוצעת בפרק זמן \(\Delta t\):\(\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\)

2. מהירות רגעית: מקטינים את פרק הזמן עד שהוא כמעט אפס.\(v=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\)

בגרף מקום-זמן: המהירות הרגעית היא שיפוע המשיק לגרף באותו רגע.

שימו לב: מד המהירות במכונית מראה מהירות רגעית. זמן הנסיעה הכולל חלקי הדרך נותן מהירות ממוצעת.

מהירות רגעית

גרף המהירות הרגעית של בולט

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: אם נחשב את שיפוע המשיק בכל רגע, נקבל גרף של המהירות הרגעית. איך הוא נראה?

1. בהתחלה המהירות עולה מהר מאוד: בולט מאיץ.

2. אחרי כ-5 שניות המהירות כמעט קבועה, בערך \(12.2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\). זו המהירות המרבית שלו, יותר מ-40 קמ"ש.

שיפוע גרף המהירות הוא התאוצה. בזינוק השיפוע הכי גדול: כמעט \(10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

שימו לב: הגרף מחושב ממודל שמתאים לזמני הביניים של המרוץ. במציאות בולט האט מעט בסוף.

נסו בעצמכם

תאוצה רגעית: המשיק לגרף המהירות

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: גררו את הנקודות על גרף המהירות. איפה התאוצה הכי גדולה, ואיפה היא כמעט אפס?

1. תאוצה ממוצעת היא שיפוע המיתר בגרף מהירות-זמן:\(\bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

2. תאוצה רגעית היא שיפוע המשיק:\(a=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

שימו לב: בהתחלה המשיק תלול מאוד (תאוצה גדולה), ובסוף הוא כמעט אופקי (תאוצה קרובה לאפס), למרות שהמהירות הכי גדולה.

גררו את העיגולים

שלושה גרפים

מקום, מהירות ותאוצה: אותו ציר זמן

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: גררו את קו הזמן. איך השיפוע בגרף העליון קשור לערך בגרף שמתחתיו?

1. השיפוע של גרף המקום בכל רגע הוא הערך של גרף המהירות באותו רגע.

2. השיפוע של גרף המהירות בכל רגע הוא הערך של גרף התאוצה באותו רגע.

לכן: כשגרף המקום נעשה ישר, המהירות קבועה והתאוצה אפס. כשגרף המהירות תלול, התאוצה גדולה.

גררו את העיגול שלמטה

סיכום

ממוצע מול רגעי

מהירות ממוצעת\(\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\), שיפוע המיתר

מהירות רגעיתשיפוע המשיק בגרף \(x(t)\)

תאוצה ממוצעת\(\bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\), שיפוע המיתר

תאוצה רגעיתשיפוע המשיק בגרף \(v(t)\)

טעויות נפוצות

מהירות ממוצעת היא לא ממוצע של מהירויות: היא הדרך הכוללת חלקי הזמן הכולל.

ערך מול שיפוע: המהירות היא השיפוע של גרף המקום, לא הגובה שלו.

מהירות גדולה לא אומרת תאוצה גדולה: בסוף המרוץ בולט הכי מהיר, והתאוצה שלו כמעט אפס.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←