2 – מכונת אטווד

בגרות 2026 - שאלה 2

קישור לשאלה: מבחן 2026

מכונת אטווד: גלגלת קבועה לתקרה, חוט כרוך סביבה, ובשני קצות החוט שתי מסות m1 ו-m2. אורך החוט קבוע, המסות לא מגיעות לרצפה או לגלגלת. מתעלמים מהתנגדות אוויר, מחיכוך בגלגלת, וממסת הגלגלת והחוט.

סעיף א - דיאגרמת כוחות

על כל מסה פועלים שני כוחות: המשקל כלפי מטה (m1g או m2g) ומתיחות החוט T כלפי מעלה. מכיוון שהחוט, הגלגלת וחסרי מסה וללא חיכוך, גודל המתיחות T זהה משני צידי הגלגלת.

סעיף ב - פסילת הביטויים המוצעים

(i) $$ a = g $$ - נפסל כי הוא מתעלם מקיום המתיחות בחוט. תאוצה כזו תקפה רק לנפילה חופשית, כלומר כשאין כוח נגדי על הגוף - אבל כאן כל מסה קשורה לחוט שמפעיל עליה כוח נגדי (מתיחות), ולכן התאוצה בהכרח קטנה מ-g.

(ii) $$ a = \frac{m_2}{m_1+m_2} g $$ - נפסל כי הוא מתייחס רק למשקל של m2 כגורם המניע, ומתעלם מכך שגם המשקל של m1 פועל על המערכת ומאט אותה (מכיוון ש-m1 עולה, משקלה מתנגד לתנועה). הביטוי הנכון חייב לכלול את ההפרש m2-m1 במונה, לא רק m2.

סעיף ג - גזירת נוסחת התאוצה

לכל מסה, לפי חוק שני של ניוטון (בהנחה ש-m2 גדולה מ-m1 ולכן יורדת):

$$ m_2 g - T = m_2 a $$

$$ T - m_1 g = m_1 a $$

חיבור שתי המשוואות (T מצטמצם):

$$ a = \frac{(m_2-m_1)}{(m_1+m_2)} g $$

סעיף ד - חישוב יחס המסות

המסה m1 עברה 1 מטר בשנייה הראשונה, מתוך מנוחה, בתאוצה קבועה:

$$ x = \frac{1}{2} a t^2 \implies 1 = \frac{1}{2} a (1)^2 \implies a = 2\ m/s^2 $$

הצבה בנוסחה מסעיף ג (עם g=10):

$$ 2 = \frac{(m_2-m_1)}{(m_1+m_2)} \cdot 10 $$

$$ 2(m_1+m_2) = 10(m_2-m_1) \implies 12 m_1 = 8 m_2 \implies \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3} $$

סעיף ה - הסבר לשוויון גדלי התאוצות

החוט אינו נמתח (אורכו קבוע), ועובר סביב גלגלת אחת. לכן כל תזוזה כלפי מטה של אחת המסות שווה בגודלה לתזוזה כלפי מעלה של המסה השנייה - האורך הכולל של החוט משני צדי הגלגלת חייב להישאר קבוע. מכאן שבכל רגע, גדלי המהירות וגדלי התאוצה של שתי המסות שווים (אך בכיוונים מנוגדים - אחת יורדת והשנייה עולה).