כוחות וחוקי קפלר

כבידה, תנועה מעגלית וחוקי קפלר – מדריך לבגרות

בתרגילי כבידה בבגרות נדרש להבין את הקשר בין כוח הכבידה, התנועה המעגלית של לוויינים והקשרים בין רדיוס המסלול לזמן המחזור.

כוח הכבידה הוא הכוח היחיד הפועל

ברוב שאלות הבגרות בנושא כבידה:

• פועל על הגוף כוח אחד בלבד – כוח הכבידה
• אין כוח נורמל, אין חיכוך ואין מתיחות

כוח הכבידה פונה תמיד אל מרכז הגוף המושך, ולכן אין צורך בדיאגרמת כוחות מורכבת או בפירוק לצירים.

כיוון הכוח הוא כיוון התאוצה

כיוון התאוצה של הגוף נקבע על ידי כיוון הכוח הפועל עליו. בכבידה:

• כוח הכבידה פועל אל מרכז כדור הארץ
• גם התאוצה פונה אל מרכז כדור הארץ

כאשר גוף נע במסלול מעגלי סביב כדור הארץ, כוח הכבידה מספק את התאוצה הצנטריפטלית.

התאוצה הצנטריפטלית

בתנועה מעגלית גודל התאוצה הוא:

\[ a_r = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r \]

כוח הכבידה

כוח הכבידה בין שני גופים נתון על ידי:

\[ F_r = G \frac{mM}{r^2} \]

השוואת הכבידה לכוח הצנטריפטלי

במסלול מעגלי יציב מתקיים:

\[ G \frac{mM}{r^2} = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r \]

מסת הלוויין מצטמצמת, ולכן התנועה אינה תלויה במסתו.

מהירות לוויין במסלול מעגלי

מתוך השוואת הכוחות מתקבלת מהירות הלוויין:

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]

ככל שהרדיוס גדול יותר, מהירות הלוויין קטנה יותר.

קשר בין מהירות זוויתית לזמן מחזור

בהקפה מלאה הגוף עובר זווית של \(2\pi\), ולכן:

\[ \omega T = 2\pi \]

ומכאן:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

זמן המחזור של לוויין

שילוב הקשרים נותן:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

חוקי קפלר והקשר בין רדיוס לזמן מחזור

חוק קפלר השלישי קובע כי עבור גופים הנעים סביב אותו גוף מרכזי:

\[ T^2 \propto r^3 \]

כלומר:

• אם רדיוס המסלול גדל – זמן המחזור גדל
• היחס \( \frac{T^2}{r^3} \) קבוע עבור כל הלוויינים סביב אותו גוף

במקרה של מסלול מעגלי סביב מסה \(M\), חוק קפלר השלישי מתקבל ישירות מהביטוי:

\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \]

ולכן חוקי קפלר אינם חוק אמפירי בלבד, אלא נובעים ישירות מחוק הכבידה של ניוטון.

הבחנה בין מסה למשקל

המסה של גוף קבועה, ואילו המשקל תלוי בעוצמת כוח הכבידה.

אין כוח הנובע מהתנועה עצמה

מהירות אינה כוח. אם גוף נע במסלול מעגלי, חייב לפעול עליו כוח אמיתי, ובתנועה כבידתית זהו כוח הכבידה.

תחושת חוסר כבידה של אסטרונאוטים

אסטרונאוטים בחללית חווים תחושת חוסר כבידה משום שהם והחללית נמצאים בנפילה חופשית סביב כדור הארץ.

אין כוח נורמל הפועל על האסטרונאוט, ולכן אין תחושת משקל.

תחושת חוסר הכבידה נובעת מהיעדר כוח נורמל, ולא מהיעדר כוח כבידה.