בגרות – גרף מהירות
מסילה מורכבת משלושה קטעים: AB משופע, BC אופקי, CD מעוקם. יש חיכוך בקטע BC בלבד; הקטעים AB ו-CD חלקים. תלמידה מבצעת ניסוי שבו גוף שמסתו M משתחרר ממנוחה מנקודה A, בגובה \( H_A \) מעל הקרקע, ונע לאורך המסילה. בכל פעם היא משנה את הגובה \( H_A \) של נקודת A, ומחשבת את גודל מהירות הגוף בנקודה D, \( v_D \). גובה נקודה D מעל הקרקע הוא \( H_D=0.3\ \mathrm{m} \). תוצאות הניסוי:
|
\( H_A\ (\mathrm{m}) \) |
1.2 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.6 |
|
\( v_D\ (\mathrm{m/s}) \) |
3.75 |
2.80 |
2.50 |
2.00 |
1.45 |
א. תלות מהירות הגוף ב-D בגובה השחרור
(1) ככל שהגוף משתחרר מגובה \( H_A \) רב יותר, יש לו יותר אנרגיה פוטנציאלית כובדית בתחילת התנועה. קטע החיכוך BC קבוע ואינו תלוי בגובה השחרור, ולכן גם עבודת החיכוך (איבוד האנרגיה) קבועה בכל הניסויים. לכן כל תוספת אנרגיה פוטנציאלית התחלתית מומרת במלואה לאנרגיה קינטית נוספת בנקודה D, וככל ש-\( H_A \) גדול יותר כך \( v_D \) (וליתר דיוק \( v_D^2 \)) גדול יותר.
(2) אם ישחררו את הגוף מגובה השווה לגובה נקודה D עצמה (\( H_A=H_D=0.3\ \mathrm{m} \)), הגוף לא יגיע לנקודה D. הסבר: שימור אנרגיה מחייב \( MgH_A = MgH_D + \tfrac12Mv_D^2 + |W_f| \). אילו \( H_A=H_D \), היה מתקבל \( 0 = \tfrac12Mv_D^2 + |W_f| \) - משוואה בלתי אפשרית, שכן שני האיברים בצד ימין אינם שליליים (וגם קיים איבוד אנרגיה ודאי לחיכוך בקטע BC). כלומר יש צורך בגובה שחרור גדול מ-\( H_D \) רק כדי לכסות את אובדן האנרגיה לחיכוך, ובוודאי גדול ממנו אם רוצים שהגוף גם יגיע ל-D במהירות חיובית.
ב. חישוב וגרף v²D כפונקציה של HA
(1) מריבוע ערכי \( v_D \) הנתונים:
|
\( H_A\ (\mathrm{m}) \) |
1.2 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.6 |
|
\( v_D^2\ (\mathrm{m^2/s^2}) \) |
14.06 |
7.84 |
6.25 |
4.00 |
2.10 |
(2) שרטוט הנקודות מראה קשר ליניארי טוב בין \( v_D^2 \) ל-\( H_A \), כצפוי מהנוסחה \( v_D^2=2gH_A-\left(2gH_D+\dfrac{2|W_f|}{M}\right) \) (קו ישר עם שיפוע \( 2g \)).
ג. הגובה המינימלי להגעה לנקודה D
מעבירים קו מגמה בין הנקודות, ומאריכים אותו (אקסטרפולציה) עד לנקודה שבה \( v_D^2=0 \). קריאת שיפוע וחיתוך הקו מהגרף (שיפוע \( \approx19.9\approx2g \), חיתוך \( \approx-9.9 \)) נותנת:
$$ 0 = 19.9\,H_{A,min} - 9.9 \quad\Rightarrow\quad H_{A,min} \approx 0.50\ \mathrm{m} $$
ד. עבודת כוח החיכוך כאשר שחררו מגובה HA = 1.1 m
גובה זה אינו אחת מנקודות המדידה - קוראים את \( v_D^2 \) המתאים מקו המגמה בגרף שבסעיף ב', בגובה \( H_A=1.1\ \mathrm{m} \):
$$ v_D^2 \approx 19.9\times1.1 - 9.9 \approx 12.0\ \mathrm{m^2/s^2} $$
משימור אנרגיה, עם \( M=0.2\ \mathrm{kg} \), \( H_D=0.3\ \mathrm{m} \):
$$ W_f = \tfrac12Mv_D^2 - Mg(H_A-H_D) = \tfrac12\times0.2\times12.0 - 0.2\times10\times(1.1-0.3) $$
$$ W_f \approx 1.2 - 1.6 = -0.4\ \mathrm{J} $$
עבודת החיכוך שלילית, כצפוי - כמות זו (בערכה המוחלט) הפכה לחום בקטע BC.