גוף על מישור משופע עם חיכוך

מכניקה כוח חיכוך גוף על מישור משופע עם חיכוך

בתהליך

פתרון - גוף על מישור משופע עם חיכוך (בגרות 2025, שאלה 2)

קישור לשאלה: מבחן 2025

נתון: גוף קטן במסה $m$ מונח על מישור משופע שאפשר לשנות את הזווית שלו. מקדם החיכוך הסטטי הוא $\mu_s$ ומקדם החיכוך הקינטי הוא $\mu_k = 0.24$. גובה המישור $h = 0.3\ \text{m}$.

סעיף א׳ - תרשים כוחות

כשהזווית היא $\alpha_0$ הגוף במנוחה, ופועלים עליו שלושה כוחות:

המשקל $mg$ כלפי מטה. מפעיל: כדור הארץ.

הכוח הנורמלי $N$ ניצב למישור. מפעיל: המישור המשופע.

כוח החיכוך הסטטי $f_s$ במעלה המישור. מפעיל: המישור המשופע. החיכוך פועל במעלה המישור כי בלעדיו הגוף היה מחליק למטה.

סעיף ב׳ - מקטינים את הזווית

מקטינים את הזווית ל-$\alpha_1 \lt \alpha_0$, והגוף עדיין במנוחה. לכן הכוח השקול עליו אפס, ולאורך המישור החיכוך הסטטי מאזן את רכיב המשקל במורד:

$$ f_s = mg\sin\alpha $$

כשהזווית קטנה, $\sin\alpha$ קטן, ולכן כוח החיכוך קטן.

שימו לב: חיכוך סטטי אינו $\mu_sN$. זה רק הערך המקסימלי שלו.

סעיף ג׳ - זווית סף התנועה

(1) בזווית $\alpha_2$ הגוף על סף תנועה, והחיכוך הסטטי מקסימלי:

$$ N = mg\cos\alpha_2 $$

$$ mg\sin\alpha_2 = \mu_s N $$

(2) מציבים את $N$ ומחלקים ב-$mg\cos\alpha_2$:

$$ mg\sin\alpha_2 = \mu_s mg\cos\alpha_2 \quad\Rightarrow\quad \tan\alpha_2 = \mu_s $$

$$ \alpha_2 = \arctan\mu_s $$

סעיף ד׳ - המהירות בתחתית המישור

בזווית $\alpha_3 = 22^\circ$ הגוף מחליק ממנוחה, ולכן החיכוך קינטי: $f_k = \mu_kN = \mu_kmg\cos\alpha_3$.

החוק השני לאורך המישור:

$$ a = g(\sin\alpha_3 - \mu_k\cos\alpha_3) = 10\cdot(\sin22^\circ - 0.24\cos22^\circ) \approx 1.52\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2} $$

הדרך לאורך המישור, מתוך הגובה:

$$ x = \frac{h}{\sin\alpha_3} = \frac{0.3}{\sin22^\circ} \approx 0.80\ \text{m} $$

תנועה שוות תאוצה ממנוחה:

$$ v^2 = 2ax = 2\cdot1.52\cdot0.80 $$

$$ v = \sqrt{2\cdot1.52\cdot0.80} \approx 1.56\ \frac{\text{m}}{\text{s}} $$

סעיף ה׳ - עלייה מול ירידה

בעלייה החיכוך הקינטי פועל במורד המישור, באותו כיוון כמו רכיב המשקל:

$$ a_u = g(\sin\alpha + \mu_k\cos\alpha) $$

בירידה החיכוך פועל במעלה המישור, נגד רכיב המשקל:

$$ a_d = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha) $$

בכל שלב הכוחות קבועים, ולכן התאוצה קבועה, ו-$a_u \gt a_d$.

התשובה: תרשים 3. תאוצה קבועה וגדולה בעלייה, ואחרי העצירה תאוצה קבועה וקטנה יותר בירידה.

בגרות 2025 · שאלה 2

גוף על מישור משופע עם חיכוך

גוף מונח על מישור משופע שאפשר לשנות את הזווית שלו. נבין מה קורה לכוח החיכוך כשמשנים את הזווית, נמצא את זווית סף התנועה, נחשב מהירות בתחתית המישור ונשווה בין העלייה לירידה.

תרשים כוחותחיכוך סטטיסף תנועהחיכוך קינטיתאוצה בעלייה ובירידה

סעיף א

תרשים הכוחות

מההתחלההצג פתרון

שאלה: כשהזווית היא $\alpha_0$, הגוף נמצא במנוחה. אילו כוחות פועלים עליו, ומי מפעיל כל כוח?

1. המשקל $mg$, כלפי מטה. מפעיל: כדור הארץ.

2. הכוח הנורמלי N, ניצב למישור. מפעיל: המישור המשופע.

3. כוח החיכוך הסטטי $f_s$, במעלה המישור. מפעיל: המישור המשופע.

שימו לב: הגוף במנוחה, ולכן החיכוך סטטי. הוא פועל במעלה המישור, כי בלעדיו הגוף היה מחליק למטה.

סעיף ב

מקטינים את הזווית

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מקטינים את הזווית ל-$\alpha_1\lt\alpha_0$, והגוף עדיין במנוחה. האם כוח החיכוך גדל, קטן או לא השתנה?

1. הגוף במנוחה, ולכן לפי החוק הראשון של ניוטון הכוח השקול עליו אפס.

2. לאורך המישור, החיכוך הסטטי מאזן את רכיב המשקל במורד:$f_s=mg\sin\alpha$

כוח החיכוך קטן. כשהזווית קטנה, $\sin\alpha$ קטן, ולכן החיכוך שצריך כדי להחזיק את הגוף קטן.

שימו לב: חיכוך סטטי אינו $\mu_sN$. זה רק הערך המקסימלי שלו. כל עוד הגוף לא זז, החיכוך שווה בדיוק למה שצריך.

גררו את העיגול

סעיף ג

זווית סף התנועה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מגדילים את הזווית ל-$\alpha_2$, שבה הגוף על סף תנועה. (1) רשמו את שתי משוואות הכוחות. (2) בטאו את $\alpha_2$.

1. מפרקים את המשקל לרכיב במורד המישור, $mg\sin\alpha_2$, ולרכיב ניצב למישור, $mg\cos\alpha_2$.

2. ניצב למישור:$N=mg\cos\alpha_2$

3. לאורך המישור, בסף תנועה החיכוך הסטטי מקסימלי:$mg\sin\alpha_2=\mu_s N$

4. מציבים את N ומחלקים ב-$mg\cos\alpha_2$:$mg\sin\alpha_2=\mu_s mg\cos\alpha_2\ \Rightarrow\ \tan\alpha_2=\mu_s$

הזווית:$\alpha_2=\arctan\mu_s$

סעיף ד

המהירות בתחתית המישור

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מגדילים את הזווית ל-$\alpha_3=22^\circ$, והגוף מחליק ממנוחה מגובה $h=0.3\ \text{m}$. נתון $\mu_k=0.24$. חשבו את מהירות הגוף בתחתית המישור.

1. הגוף נע, ולכן החיכוך קינטי: $f_k=\mu_kN=\mu_kmg\cos\alpha_3$. החוק השני לאורך המישור:$a=g(\sin\alpha_3-\mu_k\cos\alpha_3)=10\cdot(\sin22^\circ-0.24\cos22^\circ)\approx1.52\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

2. הדרך x לאורך המישור, מתוך הגובה:$x=\frac{h}{\sin\alpha_3}=\frac{0.3}{\sin22^\circ}\approx0.80\ \text{m}$

3. תנועה שוות תאוצה ממנוחה:$v^2=2ax=2\cdot1.52\cdot0.80$

המהירות בתחתית:$v=\sqrt{2\cdot1.52\cdot0.80}\approx1.56\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

שימו לב: אפשר גם בשיקולי אנרגיה: $mgh+W_{f}=\tfrac12mv^2$, ומקבלים את אותה תוצאה.

סעיף ה

עלייה מול ירידה

מההתחלההצג פתרון

שאלה: מעניקים לגוף מהירות במעלה המישור. $a_u$ היא גודל התאוצה בעלייה ו-$a_d$ בירידה. איזה מהתרשימים 1–3 מתאר נכון את גודל התאוצה כפונקציה של הזמן?

1. בעלייה החיכוך הקינטי מתנגד לתנועה, ולכן פועל במורד, באותו כיוון כמו רכיב המשקל:$a_u=g(\sin\alpha+\mu_k\cos\alpha)$

2. בירידה החיכוך פועל במעלה המישור, נגד רכיב המשקל:$a_d=g(\sin\alpha-\mu_k\cos\alpha)$

3. בכל שלב הכוחות קבועים, ולכן התאוצה קבועה. ומהשוואת הביטויים:$a_u\gt a_d$

תרשים 3: תאוצה קבועה וגדולה בעלייה, ואחרי העצירה תאוצה קבועה וקטנה יותר בירידה.

שימו לב: הטעות הנפוצה היא תרשים 2. כיוון התנועה משנה את כיוון החיכוך, ולכן גם את הכוח השקול.

סיכום

מה למדנו מהשאלה

במנוחה$f_s=mg\sin\alpha$

סף תנועה$\tan\alpha_2=\mu_s$

בתנועה$f_k=\mu_kmg\cos\alpha$

מהירות בתחתית$v\approx1.56\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

עלייה מול ירידה$a_u\gt a_d$

טעויות נפוצות

לכתוב $f_s=\mu_sN$ כשהגוף במנוחה. זה נכון רק בסף תנועה.

לשכוח להפוך את כיוון החיכוך. החיכוך תמיד נגד כיוון התנועה.

להשתמש בגובה במקום בדרך. הדרך לאורך המישור היא $\frac{h}{\sin\alpha}$.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←