חזרה – כוחות ואנרגיות

בחשמל אנחנו משתמשים באותם כלים שהכרנו במכניקה: שיקולי כוחות ושיקולי אנרגיות. ההבדל היחיד הוא שהצטרפו כוח חשמלי ואנרגיה חשמלית. בשיעור הזה נבין מתי משתמשים בכל אחד מהם, מה הקשר ביניהם, ואיך הם עוזרים לנו לזהות שיווי משקל יציב ולא יציב.

מתי משתמשים בשיקולי כוחות

שיקולי כוחות מתאימים כשהשאלה עוסקת בתאוצה. הקשר בין כוח לתאוצה נקבע לפי החוק השני של ניוטון:

$$\sum \vec{F} = m\vec{a}$$

מקרה מיוחד וחשוב במיוחד הוא כשהתאוצה שווה לאפס, כלומר שיווי משקל:

$$\sum \vec{F} = 0$$

בשיווי משקל המהירות קבועה. המקרה המעניין הוא כשהמהירות קבועה ושווה לאפס, כלומר המערכת סטטית: פועלים כוחות, אבל הם מאזנים זה את זה בדיוק, ולכן הגוף לא זז.

סימן לזיהוי: אם בשאלה מדובר בחלקיק שמוצב במקום מסוים ו"לא זז" למרות שפועלים עליו כוחות, זו שאלה של שיווי משקל, ופותרים אותה בשיקולי כוחות.

שיקולי כוחות עונים על השאלה מה קורה בנקודה מסוימת: מה הכוח שפועל על הגוף במקום מסוים.

מתי משתמשים בשיקולי אנרגיות

כוח הוא גודל מוחלט, אנרגיה היא גודל יחסי

כוח שווה לאפס מלמד אותנו משהו: אין כוח קטן יותר מאפס, ואם הכוח השקול הוא אפס אנחנו בשיווי משקל.

אנרגיה שווה לאפס לא מלמדת אותנו כלום. אנרגיה היא גודל יחסי, ויש לה משמעות רק בהשוואה לאנרגיה אחרת. דוגמה: אם נפלתי והגעתי לקומה 5, זה לא אומר כלום כל עוד לא ידוע מאיזו קומה התחלתי. ההתחלה מקומה 7 או ממינוס 5 מתארת שני מצבים שונים לגמרי.

מה שחשוב הוא ההפרש: נפילה מקומה 7 לקומה 5 ונפילה מקומה 8 לקומה 6 הן אותו דבר, נפילה של שתי קומות.

מבנה של שאלת אנרגיה

שאלת אנרגיה משווה תמיד בין שני מצבים, מצב א' ומצב ב'. סך האנרגיות במצב א' שווה לסך האנרגיות במצב ב', ורק סוגי האנרגיה מתחלפים ביניהם:

$$E_A = E_B$$

לדוגמה: אנרגיית גובה הופכת לאנרגיה קינטית, או אנרגיה חשמלית הופכת לאנרגיה קינטית ולהפך.

סימן לזיהוי: אם בשאלה הגוף עובר ממקום א' למקום ב', ושואלים מה קרה במעבר (למשל מה המהירות בסוף), זו שאלה של שיקולי אנרגיות.

שיקולי אנרגיות עונים על השאלה מה קרה במעבר בין שתי נקודות.

הקשר בין כוחות לאנרגיות - עבודה

מה שמחבר בין כוח לאנרגיה הוא העבודה. כשהכוח והתזוזה באותו כיוון:

$$W = F\cdot\Delta x$$

ובאופן כללי, כשהכוח משתנה לאורך הדרך:

$$W = \int F\,dx$$

(כשיש זווית בין הכוח לכיוון התנועה, מכפילים גם בקוסינוס הזווית.)

הקשר ההפוך: אם יודעים את האנרגיה הפוטנציאלית כפונקציה של המיקום, הנגזרת שלה נותנת את הכוח:

$$F = -\frac{dU}{dx}$$

כלומר השיפוע של גרף האנרגיה כפונקציה של המיקום נותן את הכוח.

שיווי משקל יציב ולא יציב

דוגמה: מטוטלת

מטוטלת היא מוט שמחובר בקצה אחד למסמר, ובקצה השני יש משקולת. יש שתי נקודות שבהן סך הכוחות על המשקולת שווה לאפס: כשהמשקולת בדיוק למטה, וכשהיא בדיוק למעלה. שתיהן נקודות שיווי משקל.

אבל שיווי משקל לבדו לא מספיק כדי לתאר את המציאות. צריך לשאול גם אם הוא יציב:

• למטה - שיווי משקל יציב. המשקולת תישאר שם.
• למעלה - שיווי משקל לא יציב. מתמטית, אם נניח אותה בדיוק שם היא לא תזוז. מעשית, היא לא תישאר שם.

מערכת פיזיקלית תמיד מתייצבת בסוף בשיווי משקל יציב.

הסבר בשיקולי כוחות

אי אפשר להניח גוף "בדיוק" בנקודה. תמיד יש סטייה קטנה, אפילו של מיליונית מעלה.

• למעלה: אם המשקולת סוטה מעט ימינה, נוצר כוח שמושך אותה עוד יותר ימינה, והיא נופלת. הכוח מגדיל את הסטייה, ולכן זה שיווי משקל לא יציב.
• למטה: אם המשקולת סוטה מעט ימינה, נוצר כוח שמחזיר אותה שמאלה, לנקודת שיווי המשקל. הכוח מתקן את הסטייה, ולכן זה שיווי משקל יציב.

ההסבר הזה נכון, אבל לא נוח לחשוב כך.

הסבר בשיקולי אנרגיות

שיקולי אנרגיות פשוטים יותר מתמטית, כי אנרגיה היא סקלר: אחד ועוד אחד שווה שתיים. כוח הוא וקטור, וסכום של שני כוחות בגודל 1 יכול להיות כל ערך בין 0 ל-2, לפי הכיוונים שלהם.

הכלל: גוף תמיד שואף להגיע למצב שבו האנרגיה שלו הכי נמוכה.

• למטה, למשקולת יש את האנרגיה המינימלית האפשרית. אין לה לאן "ליפול", ולכן היא נשארת: שיווי משקל יציב.
• למעלה, יש למשקולת לאן לרדת באנרגיה, ולכן היא לא נשארת שם: שיווי משקל לא יציב.

שימו לב: לא נכון לומר שלמטה "אין אנרגיה", כי אנרגיה היא גודל יחסי. אפשר לבחור שהרצפה נמצאת 100 מטר מתחת, ואז למשקולת למטה יש אנרגיה. מה שקובע הוא שזו האנרגיה הנמוכה ביותר שאפשר להגיע אליה.

דוגמה מהחיים: כדי שבקבוק יין לא ייפול וישבר, מניחים אותו מלכתחילה שוכב. אם הוא כבר "נפל", אין לו לאן ליפול.

בבגרות לא בהכרח ישתמשו במילים "יציב" ו"לא יציב", אבל כן ישאלו שאלות כמו: אם משאירים חלקיק בנקודה מסוימת, האם הוא יישאר שם?

גרף אנרגיה כפונקציה של המיקום

נניח שגרף האנרגיה הפוטנציאלית כפונקציה של המיקום הוא גרף גלי (כמו גרף סינוס). מכיוון ש-\(F=-\frac{dU}{dx}\):

• נקודות שיווי משקל הן הנקודות שבהן שיפוע הגרף שווה לאפס, כלומר נקודות הקיצון (מקסימום ומינימום). שם הכוח שווה לאפס.
• נקודות מינימום - שיווי משקל יציב.
• נקודות מקסימום - שיווי משקל לא יציב.

אפשר לדמיין את הגרף כמו הר שמסתכלים עליו מהצד, כשהאנרגיה היא אנרגיית גובה. חפץ שמונח בעמק (מינימום) נשאר שם. חפץ שמונח על פסגה (מקסימום) נמצא תיאורטית בשיווי משקל, אבל מספיקה סטייה קטנה כדי שיתגלגל למטה.

סיכום