חישוב שדה ופוטנציאל לספירה

חישוב שדה ופוטנציאל במרחב - ספירה מוליכה טעונה

נתונה ספירה מוליכה ברדיוס R, הטעונה במטען Q. נחשב את השדה והפוטנציאל בכל אזורי המרחב - בתוך הספירה ומחוצה לה.

שלב 1 - היכן נמצא המטען?

המטענים בספירה מוליכה חופשיים לנוע ודוחים זה את זה, ולכן הם מתרחקים זה מזה ככל האפשר - כל המטען מתפזר על פני הספירה, בצורה אחידה. בתוך הספירה אין מטען כלל.

בנוסף, במצב שיווי משקל השדה בתוך מוליך הוא אפס: אילו היה שם שדה, הוא היה מפעיל כוח על המטענים החופשיים והם היו ממשיכים לזוז - כלומר עוד לא הגענו לשיווי משקל.

שלב 2 - השדה מחוץ לספירה (\(r\gt R\))

מחוץ לספירה, בזכות הסימטריה הכדורית, הספירה מתנהגת כאילו כל המטען מרוכז במרכזה (חוק גאוס עם מעטפת כדורית ברדיוס r מכילה את כל המטען Q):

$$ E(r) = \frac{kQ}{r^2} \quad , \quad r \gt R $$

שלב 3 - השדה בתוך הספירה (\(r\lt R\))

מעטפת גאוס ברדיוס \(r\lt R\) אינה מכילה מטען כלל (כל המטען על פני הספירה), ולכן:

$$ E(r) = 0 \quad , \quad r \lt R $$

על פני הספירה עצמה השדה קופץ מאפס לערך המקסימלי:

$$ E(R) = \frac{kQ}{R^2} $$

שלב 4 - הפוטנציאל מחוץ לספירה (\(r\gt R\))

מכיוון שמחוץ לספירה השדה זהה לשדה של מטען נקודתי, גם הפוטנציאל זהה (בהגדרת פוטנציאל אפס באינסוף):

$$ \varphi(r) = \frac{kQ}{r} \quad , \quad r \gt R $$

שלב 5 - הפוטנציאל בתוך הספירה (\(r\lt R\))

בתוך הספירה השדה אפס, ולכן אין שינוי בפוטנציאל כשנעים בתוכה - הפוטנציאל קבוע, ושווה לפוטנציאל על פני הספירה (הפוטנציאל רציף):

$$ \varphi(r) = \frac{kQ}{R} \quad , \quad r \le R $$

כל הספירה המוליכה - פניה ופנימה - נמצאת באותו פוטנציאל.

סיכום

• בתוך הספירה \((r\lt R)\): השדה \(E=0\), והפוטנציאל קבוע \(\varphi=\frac{kQ}{R}\).
• מחוץ לספירה \((r\gt R)\): השדה \(E=\frac{kQ}{r^2}\), והפוטנציאל \(\varphi=\frac{kQ}{r}\).

דוגמה: במרחק \(r=2R\) מהמרכז השדה הוא רבע מהשדה על פני הספירה, \(E=\frac{1}{4}\cdot\frac{kQ}{R^2}\), והפוטנציאל הוא חצי מהפוטנציאל של הספירה, \(\varphi=\frac{1}{2}\cdot\frac{kQ}{R}\).

גרפים של השדה והפוטנציאל

שימו לב:

• גרף השדה אינו רציף ב-\(r=R\): הוא קופץ מאפס ל-\(\frac{kQ}{R^2}\).
• גרף הפוטנציאל רציף: קבוע בפנים, ומשם יורד בהדרגה כמו \(\frac{1}{r}\).
• השדה הוא "השיפוע" של הפוטנציאל: היכן שהפוטנציאל קבוע (בתוך הספירה) - השדה אפס; היכן שהפוטנציאל יורד בתלילות (ליד פני הספירה) - השדה חזק.