כוחות מול אנרגיות בתיל בצורת פרבולה

כוחות מול אנרגיות בתיל בצורת פרבולה

חרוז (טבעת קטנה) מחליק ללא חיכוך על תיל קשיח המעוצב בצורת פרבולה (\( y=cx^2 \)). זהו תרגיל המשלב שני כלים: ניתוח כוחות (בכל נקודה, הכוח הנורמלי מהתיל מאונך למשיק לעקומה) וניתוח אנרגיה (שימור אנרגיה מכנית לאורך התנועה, שכן אין חיכוך).

שלב 1 - שימוש בשימור אנרגיה למציאת מהירות

מכיוון שהתיל חלק, ניתן למצוא את מהירות החרוז בכל גובה y (או מיקום x על הפרבולה) באמצעות שימור אנרגיה, ללא צורך לדעת את פרטי הכוח הנורמלי בשלב זה:

$$ mgy_0 = mgy + \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad v=\sqrt{2g(y_0-y)} $$

שלב 2 - הכוח הנורמלי תלוי בעקמומיות המקומית

בניגוד למסלול ישר, כאן הכוח הנורמלי אינו קבוע וגם אינו פשוט לחישוב - הוא תלוי ברדיוס העקמומיות המקומי של הפרבולה בנקודה הנתונה (השונה מנקודה לנקודה). רדיוס העקמומיות של עקומה \( y=f(x) \) נתון על ידי:

$$ R = \frac{\left[1+(y')^2\right]^{3/2}}{|y''|} $$

עבור \( y=cx^2 \): \( y'=2cx \), \( y''=2c \), כך ש-\( R=\frac{(1+4c^2x^2)^{3/2}}{2c} \).

שלב 3 - כיוון הכוח הנורמלי

הכוח הנורמלי מהתיל תמיד מאונך למשיק לעקומה באותה נקודה, ומכוון לכיוון מרכז העקמומיות המקומי (כלפי "פנים" העקומה בנקודה זו). בתחתית הפרבולה (המינימום), הכוח הנורמלי מכוון פשוט כלפי מעלה; ברחוק ממנה, יש לו גם רכיב אופקי, בהתאם לשיפוע המקומי.

שלב 4 - שילוב כוח ותאוצה מרכזית

ברגע שיש לנו את המהירות (משלב 1) ואת רדיוס העקמומיות המקומי (משלב 2), ניתן למצוא את התאוצה הרדיאלית (המרכזית) באותה נקודה:

$$ a_r = \frac{v^2}{R} $$

ומכאן, את הכוח השקול הרדיאלי (המורכב מרכיבי המשקל והנורמל בכיוון הרדיאלי):

$$ F_r = ma_r $$

משוואה זו מאפשרת לבודד ולמצוא את גודל הכוח הנורמלי המדויק בכל נקודה נתונה על הפרבולה, בשילוב עם רכיב כוח הכובד באותו כיוון.